inhomog. DGL 2. Ordnung < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | y''(x) + 2y'(x) + 82y(x) = 164 + [mm] 164e^{-2x} [/mm] |
So ich schon wieder. Sorry wenn ich das in den anderen Thread hätte packen sollen aber ich dachte neue Aufgabe = neuer Thread.
Lösung des homogenen Teils ist ja kein Problem.
Nur wie geht der inhomogene Teil?
Bei g(x) = [mm] e^{cx} [/mm]
Ansatz: [mm] y_{p} [/mm] = [mm] Ae^{-2x}
[/mm]
y'_{p} = [mm] e^{-2x} [/mm] + [mm] A(-2e^{-2x}) [/mm] bzw [mm] e^{-2x}(1-2A) [/mm] ausgeklammert soweit richtig?
Bei y''_{p} häng ich dann allerdings. Nochmal Produktregel? Und wenn ja, von welche Form?
Und was geschieht mit den 164?
Vielen Dank schonmal für alle Antworten.
Mfg,
Unkreativ
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Mi 11.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Ableitung ist falsch, A ist doch ne Konstante?
Gruss leduart
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Ja ist sie. Ich habs halt nach der Prdouktregel gemacht mit A = u und [mm] e^{-2x} [/mm] als v
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Do 12.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ja ist sie. Ich habs halt nach der Prdouktregel gemacht mit
> A = u und [mm]e^{-2x}[/mm] als v
Dann ist aber u'=0
FRED
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Oh verdammt, richtig oO
Also is y'_{p} = [mm] -2Ae^{-2x}
[/mm]
Und wie gehts dann weiter? Produktregel mit 3 Faktoren?
Das wäre dann [mm] 4Ae^{-2x} [/mm] ?
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Hallo Unkreativ,
> Oh verdammt, richtig oO
>
> Also is y'_{p} = [mm]-2Ae^{-2x}[/mm]
>
> Und wie gehts dann weiter? Produktregel mit 3 Faktoren?
> Das wäre dann [mm]4Ae^{-2x}[/mm] ?
Da "-2A" eine Konstante ist, ist nur [mm]e^{-2x}[/mm] abzuleiten.
Gruss
MathePower
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Also [mm] y^{''}_{p} [/mm] = [mm] -2e^{-2x} [/mm] ?
Irgendwie komm ich nicht weiter ich muss das doch dann in die DGL einsetzen aber krieg A nicht raus :(
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Hallo,
du hast nur einmal abegleitet, mund dabei ist dir auch noch der Faktor A verlorengegangen. Also den ganz schnell wieder finden, und dann nochmal ableiten, diesmal ohne das A zu verlieren. 
Gruß, Diophant
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Also sorry ich blick grad garnix mehr hab wohl mathepower falsch verstanden der sagte ich soll nur [mm] e^{-2x]} [/mm] ableiten...
Ich glaub ich brauch ne Schritt für Schritt Anleitung.
Also Der Ansatz ist ja [mm] Ae^{-2x} [/mm] da c keine Lösung der Gleichung ist.
Also ist y'= [mm] -2Ae^{-2x}
[/mm]
Und wenn ich die Kettenregel richtig verstanden habe ist y''= [mm] 4Ae^{-2x}
[/mm]
In DGL eingesetzt bleibt [mm] Ae^{-2x} [/mm] = 2 + [mm] 2e^{-2x}
[/mm]
Soweit richtig?
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Hallo,
deine zweite Ableitung stimmt jetzt. Aber was du da beim Einsetzen herausbekommst, aknn ich nicht nachvollziehen.
Ein Punkt sollte noch geklärt werden (das hast du weiter oben ja auch gefragt): Wenn man
[mm] y_p=A*e^{-2x}+B
[/mm]
ansetzt, dann sind dürften auch die 164 kein Problem darstellen.
Gruß, Diophant
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Ok also bei mir sieht das so aus:
y'' + 2y' + 82y = 164 + [mm] 164e^{-2x}
[/mm]
Also [mm] 4Ae^{-2x} [/mm] + [mm] 2(-2Ae^{-2x}) [/mm] + [mm] 82(Ae^{-2x}) [/mm] = 164 [mm] +164e^{-2x}
[/mm]
[mm] 4Ae^{-2x} [/mm] - [mm] 4Ae^{-2x} [/mm] + [mm] 82Ae^{-2x} [/mm] = 164 + [mm] 164e^{-2x} [/mm] |:82
[mm] Ae^{-2x} [/mm] = 2 + [mm] 2e^{-2x}
[/mm]
Das mit dem + B versteh ich nicht was stellt das dar?
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Hallo,
> Das mit dem + B versteh ich nicht was stellt das dar?
hättest du es mit berücksichtigt, so hättest du es bereits: es ist die 2. Du hattest somit links auch noch +2 stehen, so dass du A ausrechnen könntest...
Gruß, Diophant
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Ok also ist A = 2 :)
Woher kommt dann das B? Also welche Zahl nehm ich da die 164?
[mm] y_{p} [/mm] = [mm] 2e^{-2x} [/mm] + B
Also ist y(x) = e^-x(C1 sin(9x) + C2 cos(9x) + [mm] 2e^{-2x} [/mm] + B
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Hallo,
nein: wenn du mit
[mm] y_p=A*e^{-2x}+B [/mm] in die DGL eingehst, so folgt sofort B=2 und damit hast du deine partikuläre Lösung bestimmt.
Gruß, Diophant
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Sorry das ich so langsam bin aber ich verstehe das WARUM nicht... Warum ist b = 2?
Kannst du mir das Einsetzen mal vorrechnen?
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Hallo,
Sei [mm] y_p=A*e^{-2x}+B. [/mm] Einsetzen in die DGL ergibt
[mm] 4A*e^{-2x}-4Ae^{-2x}+82*\left(A*e^{-2x}+B\right)=164+164*e^{-2x}
[/mm]
was gleichbedeutend zu
[mm] A*e^{-2x}+B=2+2*e^{-2x}
[/mm]
ist. Jetzt klar?
Gruß, Diophant
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Neja [mm] e^{-2x} [/mm] weg dann bleibt ja A + B = 2 + 2 bzw eig. ja = 4
Ich kann das nicht nachvollziehen wie ist die allgemeine Formel dafür? Weil ja A + B = 4 im Grunde nicht lösbar ist wo ist der Trick?
Hoffe du verstehst mein Problem danach dürfte das Thema dann geklärt sein xD
Danke schonmal für die Geduld :)
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Hallo,
man nennt das Koeffizientenvergleich. Die Funktion [mm] e^{-2x} [/mm] steht rechts zweimal und links A-mal. Also muss A=2 sein. Erst jetzt fällt [mm] e^{-2x} [/mm] heraus, und zwar durch Subtraktion und nicht, wie du offensichtlich fälschlicherweise annimmst, durch Division. Übrig bleibt eben gerade B=2.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Unkreativ |
Oke habs endlich verstanden.
[mm] e^{-2x} [/mm] : A + 0 = 2
=> [mm] 2e^{-2x} [/mm] + B = [mm] 2e^{-2x} [/mm] + 2
B = 2
Dankeschön
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