inhomogene DGL < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Di 28.12.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Bestimmen sie alle reelen Lösungen:
y'' + y' = 2x + 10 cos(2x) |
Bin wirklich interessiert wie nun das ganze von statten geht:
Ich habe mal angefangen mit Hilfe von Internet und Skript das ganze zu berechnen.
Zunächst habe ich das ganze als homogen betrachtet:
y'' + y' = 0
So bin ich auf meine Eigenwerte [mm] \lambda_1 [/mm] = 0 und [mm] \lambda_2 [/mm] = -1 gekommen.
Das Fundamentalsystem ist ja dann: [mm] f_1(x) [/mm] = 1 und [mm] f_2(x) [/mm] = [mm] e^{-x}
[/mm]
[mm] f_h(x) [/mm] = [mm] C_1 [/mm] + [mm] C_2 *e^{-x}
[/mm]
nun muss ich ja eine Variation der Konstanten machen, von der ich nicht genau weiß wie sie abläuft.
Ich habe nun fp(x) = [mm] Cp_1(x) [/mm] + [mm] Cp_2(x)*e^{-x}
[/mm]
f'p(x) = [mm] C'p_1(x) [/mm] + [mm] C'p_2(x)*e^{-x} [/mm] - [mm] Cp_2(x)*e^{-x}
[/mm]
f''p(x) = [mm] C''p_1(x) [/mm] + [mm] C''p_2(x)*e^{-x} [/mm] - [mm] C'p_2(x)*e^{-x} [/mm] - [mm] C'p_2(x)*e^{-x} [/mm] + [mm] Cp_2(x)*e^{-x}
[/mm]
Nun einsetzen in die DGL:
[mm] C''p_1(x) [/mm] + [mm] C''p_2(x)*e^{-x} [/mm] -2 [mm] C'p_2(x)*e^{-x} [/mm] + [mm] Cp_2(x)*e^{-x} [/mm] + [mm] Cp_1(x) [/mm] + [mm] Cp_2(x)*e^{-x} [/mm] = 2x + 10cos(2x)
Nun habe ich gelesen aber dass man fordert: dass in f'p(x): [mm] C'p_1(x) [/mm] + [mm] C'p_2(x)*e^{-x} [/mm] = 0 wird
und in f''p(x): [mm] C''p_1(x) [/mm] + [mm] C''p_2(x)*e^{-x} [/mm] - [mm] C'p_2(x)*e^{-x} [/mm] - [mm] C'p_2(x)*e^{-x} [/mm] = 0
Ist das korrekt? Und warum wäre das so..
Dann hätte ich ja nur noch
[mm] 2C_p2(x)*e^{-x} [/mm] + [mm] Cp_1(x) [/mm] = 2x + 10cos(2x)
Wie ist denn das allgemeine vorgehen bei der Variation der Konstanten?
Vielen Vielen Dank...ich bekomm das nicht gebacken
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Hallo zocca21,
> Bestimmen sie alle reelen Lösungen:
>
> y'' + y' = 2x + 10 cos(2x)
> Bin wirklich interessiert wie nun das ganze von statten
> geht:
>
> Ich habe mal angefangen mit Hilfe von Internet und Skript
> das ganze zu berechnen.
>
> Zunächst habe ich das ganze als homogen betrachtet:
>
> y'' + y' = 0
>
> So bin ich auf meine Eigenwerte [mm]\lambda_1[/mm] = 0 und
> [mm]\lambda_2[/mm] = -1 gekommen.
>
> Das Fundamentalsystem ist ja dann: [mm]f_1(x)[/mm] = 1 und [mm]f_2(x)[/mm] =
> [mm]e^{-x}[/mm]
>
> [mm]f_h(x)[/mm] = [mm]C_1[/mm] + [mm]C_2 *e^{-x}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> nun muss ich ja eine Variation der Konstanten machen, von
> der ich nicht genau weiß wie sie abläuft.
>
> Ich habe nun fp(x) = [mm]Cp_1(x)[/mm] + [mm]Cp_2(x)*e^{-x}[/mm]
>
> f'p(x) = [mm]C'p_1(x)[/mm] + [mm]C'p_2(x)*e^{-x}[/mm] - [mm]Cp_2(x)*e^{-x}[/mm]
>
> f''p(x) = [mm]C''p_1(x)[/mm] + [mm]C''p_2(x)*e^{-x}[/mm] - [mm]C'p_2(x)*e^{-x}[/mm] -
> [mm]C'p_2(x)*e^{-x}[/mm] + [mm]Cp_2(x)*e^{-x}[/mm]
>
> Nun einsetzen in die DGL:
>
> [mm]C''p_1(x)[/mm] + [mm]C''p_2(x)*e^{-x}[/mm] -2 [mm]C'p_2(x)*e^{-x}[/mm] +
> [mm]Cp_2(x)*e^{-x}[/mm] + [mm]Cp_1(x)[/mm] + [mm]Cp_2(x)*e^{-x}[/mm] = 2x + 10cos(2x)
Das muss hier so lauten:
[mm]C''p_1(x) + C''p_2(x)*e^{-x} -2 C'p_2(x)*e^{-x} + Cp_2(x)*e^{-x} + C\blue{'}p_1(x) + C\blue{'}p_2(x)*e^{-x}\red{-Cp_2(x)*e^{-x}} = 2x + 10cos(2x)[/mm]
>
> Nun habe ich gelesen aber dass man fordert: dass in f'p(x):
> [mm]C'p_1(x)[/mm] + [mm]C'p_2(x)*e^{-x}[/mm] = 0 wird
Das ist korrekt.
>
> und in f''p(x): [mm]C''p_1(x)[/mm] + [mm]C''p_2(x)*e^{-x}[/mm] -
> [mm]C'p_2(x)*e^{-x}[/mm] - [mm]C'p_2(x)*e^{-x}[/mm] = 0
Differenziere die Forderung
[mm]C'p_1(x)[/mm] + [mm]C'p_2(x)*e^{-x}= 0[/mm]
nach x und Du kannst
[mm]C''p_1(x) + C''p_2(x)*e^{-x}[/mm]
ersetzen.
>
> Ist das korrekt? Und warum wäre das so..
> Dann hätte ich ja nur noch
>
> [mm]2C_p2(x)*e^{-x}[/mm] + [mm]Cp_1(x)[/mm] = 2x + 10cos(2x)
Das musst Du nochmal nachrechnen.
>
> Wie ist denn das allgemeine vorgehen bei der Variation der
> Konstanten?
Hier tut man sich leichter, wenn die DGL 2. Ordnung in ein
System von DGLn 1. Ordnung überführt wird. Dann ist die
Variation der Konstanten wie gewohnt anwendbar.
>
> Vielen Vielen Dank...ich bekomm das nicht gebacken
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Di 28.12.2010 | | Autor: | zocca21 |
Ok stimmt...ich hatte y'' + y = ... gesetzt anstatt y'' + y'
Dann muss es heißen:
mit [mm] C'p_1(x) [/mm] + [mm] C'p_2(x)*e^{-x} [/mm] = 0
[mm] C''p_1(x) [/mm] + [mm] C''p_2(x)\cdot{}e^{-x} [/mm] -2 [mm] C'p_2(x)\cdot{}e^{-x} [/mm] = 2x + 10cos(2x)
Wie kann ich das nun ersetzen? Wie differenzieren? Wenn ich nur wüsste wie die Variation der konstanten normal wäre...
Danke sehr für die viele Mühe!!
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Hallo zocca21.
> Ok stimmt...ich hatte y'' + y = ... gesetzt anstatt y'' +
> y'
>
> Dann muss es heißen:
>
> mit [mm]C'p_1(x)[/mm] + [mm]C'p_2(x)*e^{-x}[/mm] = 0
>
> [mm]C''p_1(x)[/mm] + [mm]C''p_2(x)\cdot{}e^{-x}[/mm] -2 [mm]C'p_2(x)\cdot{}e^{-x}[/mm]
> = 2x + 10cos(2x)
>
>
>
> Wie kann ich das nun ersetzen? Wie differenzieren? Wenn ich
> nur wüsste wie die Variation der konstanten normal
> wäre...
Diffferenziere
[mm]C'p_1(x) + C'p_2(x)*e^{-x} = 0[/mm]
nach x:
[mm]C''p_1(x) + C''p_2(x)*e^{-x}- C'p_2(x)*e^{-x} = 0[/mm]
Daraus ergibt sich_
[mm]C''p_1(x) + C''p_2(x)*e^{-x} = C'p_2(x)*e^{-x}[/mm]
Damit
[mm]C''p_1(x)[/mm] + [mm]C''p_2(x)\cdot{}e^{-x}[/mm] -2 [mm]C'p_2(x)\cdot{}e^{-x}=C'p_2(x)*e^{-x}-2 C'p_2(x)\cdot{}e^{-x}=-C'p_2(x)\cdot{}e^{-x}[/mm]
Somit lautet die 2.Gleichung:
[mm]-C'p_2(x)\cdot{}e^{-x}=2x+10*cos(2x)[/mm]
>
> Danke sehr für die viele Mühe!!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Di 28.12.2010 | | Autor: | zocca21 |
Ah ok..dann kann ich ja nun mit partieller Integration agieren:
$ [mm] -C'p_2(x)\cdot{}e^{-x}=2x+10\cdot{}cos(2x) [/mm] $
$ [mm] C'p_2(x)=-2x\cdot{}e^{x}-10\cdot{}cos(2x)\cdot{}e^{x} [/mm] $
kann ich die ja getrennt partiell Integrieren?
[mm] \integral [/mm] -2x * [mm] e^x [/mm] dx= - [mm] 2x*e^x [/mm] + [mm] 2e^x
[/mm]
[mm] \integral -10cos(2x)*e^x [/mm] dx= [mm] -10cos(2x)*e^x-\integral 20sin(2x)*e^x [/mm] dx
= [mm] -10cos(2x)*e^x [/mm] - [mm] 20sin(2x)*e^x -\integral 40cos(2x)*e^x [/mm] dx
30 [mm] \integral cos(2x)*e^x [/mm] dx = [mm] -10cos(2x)*e^x [/mm] - [mm] 20sin(2x)*e^x
[/mm]
= [mm] -(1/3)cos(2x)*e^x [/mm] - [mm] (2/3)sin(2x)*e^x
[/mm]
[mm] Cp_2(x) [/mm] = - [mm] 2x*e^x [/mm] + [mm] 2e^x -(1/3)cos(2x)*e^x [/mm] - [mm] (2/3)sin(2x)*e^x [/mm] + D(Integrationskonstante)
mal abgesehen davon ob das stimmt, wo ich mir nich sicher bin.
Kann ich dann mein [mm] Cp_2(x) [/mm] in [mm] fp=Cp_1(x) [/mm] + [mm] Cp_2(x)*e^x [/mm] einsetzen?
Wie würde ich dann noch das [mm] Cp_1(x) [/mm] erhalten..
Danke Danke
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Hallo zocca21,
> Ah ok..dann kann ich ja nun mit partieller Integration
> agieren:
>
> [mm]-C'p_2(x)\cdot{}e^{-x}=2x+10\cdot{}cos(2x)[/mm]
>
> [mm]C'p_2(x)=-2x\cdot{}e^{x}-10\cdot{}cos(2x)\cdot{}e^{x}[/mm]
>
> kann ich die ja getrennt partiell Integrieren?
>
> [mm]\integral[/mm] -2x * [mm]e^x[/mm] dx= - [mm]2x*e^x[/mm] + [mm]2e^x[/mm]
>
> [mm]\integral -10cos(2x)*e^x[/mm] dx= [mm]-10cos(2x)*e^x-\integral 20sin(2x)*e^x[/mm]
> dx
> = [mm]-10cos(2x)*e^x[/mm] - [mm]20sin(2x)*e^x -\integral 40cos(2x)*e^x[/mm]
> dx
> 30 [mm]\integral cos(2x)*e^x[/mm] dx = [mm]-10cos(2x)*e^x[/mm] -
> [mm]20sin(2x)*e^x[/mm]
>
> = [mm]-(1/3)cos(2x)*e^x[/mm] - [mm](2/3)sin(2x)*e^x[/mm]
>
> [mm]Cp_2(x)[/mm] = - [mm]2x*e^x[/mm] + [mm]2e^x -(1/3)cos(2x)*e^x[/mm] -
> [mm](2/3)sin(2x)*e^x[/mm] + D(Integrationskonstante)
Der rot markierte Teil stimmt nicht:
[mm]Cp_2(x) = - 2x*e^x +2e^x -\red{(1/3)}cos(2x)*e^x-\red{
(2/3)}sin(2x)*e^x + D[/mm]
Lass hier die Integrationskonstante D weg.
>
> mal abgesehen davon ob das stimmt, wo ich mir nich sicher
> bin.
>
> Kann ich dann mein [mm]Cp_2(x)[/mm] in [mm]fp=Cp_1(x)[/mm] + [mm]Cp_2(x)*e^x[/mm]
> einsetzen?
> Wie würde ich dann noch das [mm]Cp_1(x)[/mm] erhalten..
Aus der ersten Gleichung:
[mm]C'p_{1}\left(x\right)+C'p_{2}\left(x\right)*e^{-x}=0[/mm]
>
> Danke Danke
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Di 28.12.2010 | | Autor: | zocca21 |
Super!!
Bei der partiellen Integration von
$ [mm] \integral -10cos(2x)\cdot{}e^x [/mm] $ = [mm] -10cos(2x)*e^{x}-\integral 20sin(2x)*e^{x}
[/mm]
$ [mm] \integral -10cos(2x)\cdot{}e^x [/mm] $ = [mm] -10cos(2x)*e^{x}- 20sin(2x)*e^{x} [/mm] - [mm] \integral 40cos(2x)*e^{x}
[/mm]
Nun zieh ich doch - [mm] \integral 40cos(2x)*e^{x} [/mm] auf die Linke Seite:
Komme ich dann nicht auf 30 [mm] \integral cos(2x)*e^{x}??
[/mm]
Danke nochmal!
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Hallo zocca21,
> Super!!
>
> Bei der partiellen Integration von
>
> [mm]\integral -10cos(2x)\cdot{}e^x[/mm] = [mm]-10cos(2x)*e^{x}-\integral 20sin(2x)*e^{x}[/mm]
>
> [mm]\integral -10cos(2x)\cdot{}e^x[/mm] = [mm]-10cos(2x)*e^{x}- 20sin(2x)*e^{x}[/mm]
> - [mm]\integral 40cos(2x)*e^{x}[/mm]
Da hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]\integral -10cos(2x)\cdot{}e^x = -10cos(2x)*e^{x}- 20sin(2x)*e^{x} \red{+} \integral 40cos(2x)*e^{x}[/mm]
>
> Nun zieh ich doch - [mm]\integral 40cos(2x)*e^{x}[/mm] auf die Linke
> Seite:
> Komme ich dann nicht auf 30 [mm]\integral cos(2x)*e^{x}??[/mm]
>
> Danke nochmal!
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Mi 29.12.2010 | | Autor: | zocca21 |
$ [mm] \integral -10cos(2x)\cdot{}e^x [/mm] = [mm] -10cos(2x)\cdot{}e^{x}- 20sin(2x)\cdot{}e^{x} \red{+} \integral 40cos(2x)\cdot{}e^{x} [/mm] $
Ok dann erhalte ich ja auf der linken Seite -50 [mm] \integral [/mm] cos(2x)
und mein Ergebnis wird:
= [mm] \bruch{1}{5}cos(2x)\cdot{}e^{x} [/mm] + [mm] \bruch{2}{5}sin(2x)\cdot{}e^{x} [/mm]
passts nun?
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Hallo zocca21,
> [mm]\integral -10cos(2x)\cdot{}e^x = -10cos(2x)\cdot{}e^{x}- 20sin(2x)\cdot{}e^{x} \red{+} \integral 40cos(2x)\cdot{}e^{x}[/mm]
>
> Ok dann erhalte ich ja auf der linken Seite -50 [mm]\integral[/mm]
> cos(2x)
>
> und mein Ergebnis wird:
>
> = [mm]\bruch{1}{5}cos(2x)\cdot{}e^{x}[/mm] +
> [mm]\bruch{2}{5}sin(2x)\cdot{}e^{x}[/mm]
>
> passts nun?
Wenn Du dieses Ergebnis jetzt noch mit (-10)
multiplizierst, dann passts.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Mi 29.12.2010 | | Autor: | zocca21 |
Ok also ich fass mal zusammen:
dann ist [mm] Cp_2(x) [/mm] = [mm] -2x*e^{x}+2e^{x}-2cos(2x)*e^{x}-4sin(2x)*e^{x}
[/mm]
Aus [mm] C'p_1(x) [/mm] + [mm] C'p_2(x)*e^{x} [/mm] = 0
[mm] Cp_1(x) [/mm] = [mm] -x^2 [/mm] -20sin(2x)
Eingesetzt in fp:
[mm] f_p(x) [/mm] = [mm] -x^2 [/mm] - 20sin(2x) + [mm] (-2x*e^{x}+2e^{x}-2cos(2x)*e^{x}-4sin(2x)*e^{x})*e^x
[/mm]
[mm] f_h(x) [/mm] = [mm] C_1 [/mm] + [mm] C_2*e^{-x}
[/mm]
Ergebnis [mm] f_p [/mm] + [mm] f_h
[/mm]
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Hallo zocca21,
> Ok also ich fass mal zusammen:
>
> dann ist [mm]Cp_2(x)[/mm] =
> [mm]-2x*e^{x}+2e^{x}-2cos(2x)*e^{x}-4sin(2x)*e^{x}[/mm]
>
> Aus [mm]C'p_1(x)[/mm] + [mm]C'p_2(x)*e^{x}[/mm] = 0
Hier muss es doch lauten:
[mm]C'p_1(x) + C'p_2(x)*e^{\red{-}x} = 0[/mm]
>
> [mm]Cp_1(x)[/mm] = [mm]-x^2[/mm] -20sin(2x)
>
> Eingesetzt in fp:
>
> [mm]f_p(x)[/mm] = [mm]-x^2[/mm] - 20sin(2x) +
> [mm](-2x*e^{x}+2e^{x}-2cos(2x)*e^{x}-4sin(2x)*e^{x})*e^x[/mm]
>
> [mm]f_h(x)[/mm] = [mm]C_1[/mm] + [mm]C_2*e^{-x}[/mm]
>
> Ergebnis [mm]f_p[/mm] + [mm]f_h[/mm]
Die partikuläre Lösung musst Du nochmal nachrechnen.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Mi 29.12.2010 | | Autor: | zocca21 |
[mm] f_p(x) [/mm] = [mm] -x^2 [/mm] - 20sin(2x) + [mm] (-2x\cdot{}e^{x}+2e^{x}-2cos(2x)\cdot{}e^{x}-4sin(2x)\cdot{}e^{x})\cdot{}e^{-x} [/mm]
damit kürzt sich das [mm] e^x [/mm] raus
und es bleibt:
[mm] f_p(x) [/mm] = [mm] -x^2 [/mm] - 20sin(2x) + (-2x+2-2cos(2x)-4sin(2x))
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Hallo zocca21,
> [mm]f_p(x)[/mm] = [mm]-x^2[/mm] - 20sin(2x) +
> [mm](-2x\cdot{}e^{x}+2e^{x}-2cos(2x)\cdot{}e^{x}-4sin(2x)\cdot{}e^{x})\cdot{}e^{-x}[/mm]
>
> damit kürzt sich das [mm]e^x[/mm] raus
>
> und es bleibt:
>
> [mm]f_p(x)[/mm] = [mm]-x^2[/mm] - 20sin(2x) + (-2x+2-2cos(2x)-4sin(2x))
Der rot markierte Ausdruck stimmt nicht:
[mm]f_p(x)= \red{-x^2 - 20sin(2x)} + (-2x+2-2cos(2x)-4sin(2x)) [/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Mi 29.12.2010 | | Autor: | zocca21 |
Das bedeutet ja mein [mm] Cp_1(x) [/mm] ist falsch:
Ich hab dies folgendermaßen berechnet:
[mm] C'p_1(x) [/mm] + [mm] C'p_2(x)*e^{-x} [/mm] = 0
[mm] -C'p_2(x)*e^{-x} [/mm] = 2x + 10cos(2x)
[mm] C'p_2(x)*e^{-x} [/mm] = -2x - 10cos(2x)
Eingesetzt:
[mm] C'p_1(x) [/mm] = 2x + 10cos(2x)
Dann ist [mm] Cp_1(x)= x^2 [/mm] + 20sin(2x)
Korrekt? Waren die Vorzeichen falsch?
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Hallo zocca21,
> Das bedeutet ja mein [mm]Cp_1(x)[/mm] ist falsch:
>
> Ich hab dies folgendermaßen berechnet:
>
> [mm]C'p_1(x)[/mm] + [mm]C'p_2(x)*e^{-x}[/mm] = 0
>
> [mm]-C'p_2(x)*e^{-x}[/mm] = 2x + 10cos(2x)
>
> [mm]C'p_2(x)*e^{-x}[/mm] = -2x - 10cos(2x)
>
> Eingesetzt:
>
> [mm]C'p_1(x)[/mm] = 2x + 10cos(2x)
>
> Dann ist [mm]Cp_1(x)= x^2[/mm] + 20sin(2x)
Eine Stammfunktion von 10cos(2x) ist doch [mm]5*\sin\left(2x\right)[/mm]
Daher
[mm]Cp_1(x)= x^2 + \blue{5}sin(2x)[/mm]
>
> Korrekt? Waren die Vorzeichen falsch?
Unter anderem waren die Vorzeichen nicht richtig.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Mi 29.12.2010 | | Autor: | zocca21 |
Natürlich!
Vielen Dank für alles!!
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