injektiv, Umkehrfunktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 Mo 16.11.2009 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | Es sei f : [1, 10] [mm] \to [/mm] R, f(x) = [mm] \wurzel{x-1} [/mm] + [mm] \wurzel{x+1}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass f injektiv ist.
b) Berechnen Sie die Umkehrfunktion von f und geben sie deren Definitionsbereich an. |
a)
Die Funktion ist nicht surjektiv, da es keine z [mm] \in [/mm] Z gibt mit f(z)=wurzel{z-1} + [mm] \wurzel{z+1}
[/mm]
1. Behauptung f injektiv
Beweis: Sei z1,z2 [mm] \in [/mm] D(f) mit z1 [mm] \not= [/mm] z2
Dann gilt:
f(z1)=wurzel{z1-1} + [mm] \wurzel{z1+1} \not=wurzel{z2-1} [/mm] + [mm] \wurzel{z2+1} [/mm] = f(z2)
da wurzel{z1-1} + [mm] \wurzel{z1+1} \not=wurzel{z2-1} [/mm] + [mm] \wurzel{z2+1}
[/mm]
folgt z1 not= z2
b)
Umkehrfunktion f^(-1) (y) = wurzel{y+1} + [mm] \wurzel{y-1}
[/mm]
Definitionsbereich von Umkehrfunktion ist der Bildbereich der normalen f
Funktion [1,10]
Bitte gegebenfalls um Korrektur
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 Mo 16.11.2009 | | Autor: | StevieG |
Die Funktion ist nicht surjektiv, da es keine z $ [mm] \in [/mm] $ Z gibt mit f(z)=wurzel{z-1} + $ [mm] \wurzel{z+1} [/mm] $
1. Behauptung f injektiv
Beweis: Sei z1,z2 [mm] \in [/mm] D(f) mit z1 [mm] \not= [/mm] z2
Dann gilt:
f(z1)= [mm] \wurzel{z1-1} [/mm] + [mm] \wurzel{z1+1} \not= \wurzel{z2-1} [/mm] + [mm] \wurzel{z2+1} [/mm] = f(z2)
da [mm] \wurzel{z1-1} [/mm] + [mm] \wurzel{z1+1} \not= \wurzel{z2-1} [/mm] + [mm] \wurzel{z2+1} [/mm]
folgt z1 [mm] \not= [/mm] z2
b)
Umkehrfunktion f^(-1) (y) = [mm] \wurzel{y+1} [/mm] + [mm] \wurzel{y-1} [/mm]
Definitionsbereich von Umkehrfunktion ist der Bildbereich der normalen f
Funktion [1,10]
Bitte gegebenfalls um Korrektur
Lg
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> Es sei f : [1, 10] [mm]\to[/mm] R, f(x) = [mm]\wurzel{x-1}[/mm] +
> [mm]\wurzel{x+1}[/mm]
> a) Zeigen Sie, dass f injektiv ist.
> b) Berechnen Sie die Umkehrfunktion von f und geben sie
> deren Definitionsbereich an.
> a)
>
> Die Funktion ist nicht surjektiv, da es keine z [mm]\in[/mm] Z gibt
> mit f(z)=wurzel{z-1} + [mm]\wurzel{z+1}[/mm]
Hallo,
ich nehme mal an, daß Du eigentlich sowas in der Art sagen wolltest:
Für alle [mm] x\in [/mm] [1, 10] ist f(x)= [mm]\wurzel{x-1}[/mm] + [mm]\wurzel{x+1}[/mm] als Summe nichtnegativer Zahlen [mm] \ge [/mm] 0 , so daß man z.B. zu -1 kein [mm] x\in [/mm] [1, 10] findet mit -1=f(x).
>
> 1. Behauptung f injektiv
>
> Beweis: Sei z1,z2 [mm]\in[/mm] D(f) mit z1 [mm]\not=[/mm] z2
>
> Dann gilt:
>
> f(z1)=wurzel{z1-1} + [mm]\wurzel{z1+1} \not=wurzel{z2-1}[/mm] +
> [mm]\wurzel{z2+1}[/mm] = f(z2)
>
> da wurzel{z1-1} + [mm]\wurzel{z1+1} \not=wurzel{z2-1}[/mm] +
> [mm]\wurzel{z2+1}[/mm]
>
> folgt z1 not= z2
Du hast hier jetzt "gezeigt", daß aus [mm] f(z_1)\ not=f(z_2) [/mm] folgt: [mm] z_1\not=z_2.
[/mm]
Diese Aussage ist nun nicht so der Hit, denn wäre es anders, so wäre f keine Funktion.
Mit Injektivität hat das nichts zu tun.
Was mußt Du zeigen, wenn Du zeigen willst, daß die Funktion injektiv ist?
>
>
> b)
>
> Umkehrfunktion f^(-1) (y) = wurzel{y+1} + [mm]\wurzel{y-1}[/mm]
???
Das ist doch die Funktion selbst.
Gebrauchsanweisung: für "Umkehrfunktion " muß man f(y)=x nach y auflösen.
>
> Definitionsbereich von Umkehrfunktion ist der Bildbereich
> der normalen f
> Funktion [1,10]
Und den will man von Dir genau wissen.
Gruß v. Angela
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