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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Mi 30.12.2009 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Sei [mm] f(x):=\begin{cases} x+x^{2}*cos(\bruch{\pi}{x}), & \mbox{für } x\not=0 \mbox \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox {} \end{cases}
[/mm]
Ist f stetig, differenzierbar? Existiert ein Intervall [mm] (-\varepsilon,\varepsilon) [/mm] mit [mm] \varepsilon>0 [/mm] sodass f injektiv ist? Welches Phänomen wird hier untersucht? |
Das mit Stetigkeit und Diffbarkeit ist ja jetzt nicht das Problem; aber das mit diesem injektivem Intervall...
Ich würde ja raten, dass so eines nicht existiert, zwar ist f für x gegen 0 asymptotisch zu x, aber es gibt immer noch Schwingungen.
Kann man da sagen, dass ein [mm] x_{1}\in(0,\varepsilon) [/mm] existiert, sodass [mm] f'(x_{1})=0 [/mm] und [mm] f''(x_{1})>0? [/mm] (was man natürlich beweisen müsste...)
Dann existiert aber ein [mm] x_{2}f(x_{1}), [/mm] nach dem ZWS also ein [mm] x_{3}
Geht das so? Das Problem dabei ist leider, dass wir noch nicht relative Extrema hatten, müsste also auch anders gehen, nur wie?
Und was ist mit der letzten Frage gemeint?
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> Sei [mm]f(x):=\begin{cases} x+x^{2}*cos(\bruch{\pi}{x}), & \mbox{für } x\not=0 \mbox \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox {} \end{cases}[/mm]
>
> Ist f stetig, differenzierbar? Existiert ein Intervall
> [mm](-\varepsilon,\varepsilon)[/mm] mit [mm]\varepsilon>0[/mm] sodass f
> injektiv ist? Welches Phänomen wird hier untersucht?
> Das mit Stetigkeit und Diffbarkeit ist ja jetzt nicht das
> Problem; aber das mit diesem injektivem Intervall...
> Ich würde ja raten, dass so eines nicht existiert, zwar
> ist f für x gegen 0 asymptotisch zu x, aber es gibt immer
> noch Schwingungen.
> Kann man da sagen, dass ein [mm]x_{1}\in(0,\varepsilon)[/mm]
> existiert, sodass [mm]f'(x_{1})=0[/mm] und [mm]f''(x_{1})>0?[/mm] (was man
> natürlich beweisen müsste...)
> Dann existiert aber ein [mm]x_{2}f(x_{1}),[/mm]
> nach dem ZWS also ein [mm]x_{3}
> => f nicht injektiv
> Geht das so? Das Problem dabei ist leider, dass wir noch
> nicht relative Extrema hatten, müsste also auch anders
> gehen, nur wie?
Hallo,
überleg Dir, daß die Funktion, wenn injektiv ist über einem Intervall, dort monoton sein muß.
Und dann überleg Dir, ob das sein kann oder nicht.
> Und was ist mit der letzten Frage gemeint?
Ich denke mal, daß mit diesem "Phänomen" gemeint ist, ob es solch ein Intervall gibt, über welchem die Funktion keinen Extremwert hat.
Gruß v. Angela
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