injektiv, surjektiv < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:45 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | | f: [mm] \IZ--> \IZ f(n)=n^2-5 [/mm] |
hab ich das formell korrekt ausgeschrieben??:
[mm] f(n)=n^2-5 [/mm] ; [mm] f(m)=m^2-5
[/mm]
z.z. f(n)=f(m) [mm] \Rightarrow [/mm] n=m
f(n)=f(m)
[mm] n^2-5=m^2-5
[/mm]
[mm] n^2=m^2
[/mm]
|n|=|m|
-->f(n)=f(m) [mm] \Rightarrow [/mm] |n|=|m|
--> nicht injektiv
___________
z.z. f(X)=f(Y)
[mm] f(X)=\IZ
[/mm]
[mm] f(Y)=\{y\in\IZ|y\ge-5\}
[/mm]
--> [mm] f(X)\not=f(Y)
[/mm]
--> nicht surjektiv
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 Mo 25.02.2008 | | Autor: | statler |
> f: [mm]\IZ--> \IZ f(n)=n^2-5[/mm]
> hab ich das formell korrekt
> ausgeschrieben??:
Fast. f: [mm]\IZ --> \IZ[/mm], f(n) = [mm]n^{2}-5[/mm]
ist eine mögliche Variante,
f(n) := [mm] \begin{cases} \IZ \to \IZ \\ n \mapsto n^{2} - 5 \end{cases}
[/mm]
eine andere.
> [mm]f(n)=n^2-5[/mm] ; [mm]f(m)=m^2-5[/mm]
>
> z.z. f(n)=f(m) [mm]\Rightarrow[/mm] n=m
> f(n)=f(m)
> [mm]n^2-5=m^2-5[/mm]
> [mm]n^2=m^2[/mm]
> |n|=|m|
>
>
> -->f(n)=f(m) [mm]\Rightarrow[/mm] |n|=|m|
> --> nicht injektiv
Der allerletzte Pfeil ist logisch nicht korrekt. Das siehst du z. B. daran, daß f auf den natürlichen Zahlen ja injektiv ist. Anders gesagt: Du müßtest zeigen, daß alle Beweisversuche zur Injektivität scheitern. Um also zu zeigen, daß f nicht injektiv ist, mußt du 2 Zahlen aus [mm] \IZ [/mm] beibringen, die verschieden sind, aber das gleiche Bild haben.
> z.z. f(X)=f(Y)
> [mm]f(X)=\IZ[/mm]
> [mm] f(Y)=\{y\in\IZ|y\ge-5\}
[/mm]
>
> -->f(X) [mm]\not=[/mm] f(Y)
> --> nicht surjektiv
Diesen Gedankengang verstehe ich so nicht, da fehlt mir der begründende Text. Es gilt aber das oben Gesagte: Es muß eine Zahl her, die nicht Bild ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Kreide |
>
> > [mm]f(n)=n^2-5[/mm] ; [mm]f(m)=m^2-5[/mm]
> >
> > z.z. f(n)=f(m) [mm]\Rightarrow[/mm] n=m
> > f(n)=f(m)
> > [mm]n^2-5=m^2-5[/mm]
> > [mm]n^2=m^2[/mm]
> > |n|=|m|
> > -->f(n)=f(m) [mm] \Rightarrow [/mm] |n|=|m|
> > --> nicht injektiv
>
> Der allerletzte Pfeil ist logisch nicht korrekt.
wieso ?
bei er definition der injektivität dürften ja keine betragsstriche stehen,
wir betrachten hier ja ganze zahlen.....stünde da [mm] f:\IN \to \IN [/mm] wäre es mir klaur, dass man , wie ich versucht hatte zu argumentieren nicht gehen würde
aber du hast recht, ein gegebnbeispiel würde ja genügen.
f( 5 )=20
f( -5)=20
f( 5 )=f( -5 ) =20, aber 5 [mm] \not= [/mm] -5
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist nicht injektiv
> > z.z. f(X)=f(Y)
> [mm] >f(X)=\IZ [/mm]
>
> > [mm] f(Y)=\{y\in\IZ|y\ge-5\}
[/mm]
> >
> > -->f(X) [mm]\not=[/mm] f(Y)
> > --> nicht surjektiv
>
> Diesen Gedankengang verstehe ich so nicht, da fehlt mir der
> begründende Text.
man sieht doch, dass Definitionsbereich f(X) und Wertebereich f(Y)unterschiedlich groß sind.... laut defintion der Surjektivität müssen die beiden Bereiche aber gleichgroß, bzw identisch sein.... der Definitionsrerich ist hier aber eingeschränkt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
auch hier reicht doch ein einfaches Gegenbeispiel: Angenommen, y:=-6. Dann müsste es, wenn surjektiv, ein x in [mm] \IZ [/mm] geben, so dass f(x)=y. f(x)=-6 [mm] \gdw n^2-5=-6 \gdw n^2=-1 [/mm] und das ist ein widerspruch zur Annahme. Folglich ist f nicht surjektiv.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Kreide |
> Hi,
>
> auch hier reicht doch ein einfaches Gegenbeispiel:
> Angenommen, y:=-6. Dann müsste es, wenn surjektiv, ein x in
> [mm]\IZ[/mm] geben, so dass f(x)=y. f(x)=-6 [mm]\gdw n^2-5=-6 \gdw n^2=-1[/mm]
> und das ist ein widerspruch zur Annahme.
ich sehe hier keinen widerspruch zur annahme.... einmal heißt es y=-6 und dann kommt raus, dass [mm] n^2=-1 [/mm] ist (bzw [mm] x^{2}=-1) [/mm] einaml ist von y einmal von x die rede)
folgt, dass f ist nicht surjektiv ist, weil in [mm] \IZ [/mm] die Wurzel aus -1 nicht definiert ist?
Folglich ist f
> nicht surjektiv.
>
> LG
>
> Kroni
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Hallo Kreide,
> > Hi,
> >
> > auch hier reicht doch ein einfaches Gegenbeispiel:
> > Angenommen, y:=-6. Dann müsste es, wenn surjektiv, ein x in
> > [mm]\IZ[/mm] geben, so dass f(x)=y. f(x)=-6 [mm]\gdw n^2-5=-6 \gdw n^2=-1[/mm]
> > und das ist ein widerspruch zur Annahme.
>
> ich sehe hier keinen widerspruch zur annahme.... einmal
> heißt es y=-6 und dann kommt raus, dass [mm]n^2=-1[/mm] ist (bzw
> [mm]x^{2}=-1)[/mm] einaml ist von y einmal von x die rede) ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Lies nochmal genau, was Kroni geschrieben hat.
f ist surjektiv, wenn es zu JEDEM [mm] y\in\IZ [/mm] ein [mm] n\in\IZ [/mm] gibt mit f(n)=y
>
> folgt, dass f ist nicht surjektiv ist, weil in [mm]\IZ[/mm] die
> Wurzel aus -1 nicht definiert ist?
Genau so ist es ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und das hat Kroni ja auch geschrieben, es müsste ein [mm] $\red{n\in\IZ}$ [/mm] geben mit [mm] $n^2-5=-6$ [/mm] , also [mm] $n^2=-1$.
[/mm]
Da es sowas in [mm] $\IZ$ [/mm] nicht gibt, ist die Fkt nicht surjektiv
Du hast also mit y=-6 ein Element aus dem Wertebereich [mm] \IZ [/mm] gefunden, das von keinem Element n aus dem Definitionsbereich [mm] \IZ [/mm] getroffen wird
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:29 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Kreide |
danke hab's endlich ( :D) gerafft!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:33 Mo 25.02.2008 | | Autor: | statler |
Hi,
dieses Gegenbeispiel ist überhaupt nicht OK.
> f( [mm]\wurzel{5}[/mm] )=0
Das stimmt noch. Aber [mm] \wurzel{5} [/mm] ist nicht in [mm] \IZ.
[/mm]
> f( [mm]\wurzel{-5}[/mm] )=0
Und das stimmt nicht (... = -10), und [mm] \wurzel{-5} [/mm] ist auch nicht in [mm] \IZ.
[/mm]
Der Rest besteht dann aus Folgefehlern.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:27 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Kreide |
oh ja... da hab ich nicht richtig hingeschaut, hab das jetzt verändert, stimmt es denn jetzt alles ?!?
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> aber du hast recht, ein gegebnbeispiel würde ja genügen.
> f( 5 )=20
> f( -5)=20
> f( 5 )=f( -5 ) =20, aber 5 [mm]\not=[/mm] -5
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist nicht injektiv
Hallo,
ja, dies ist ein taugliches Gegenbeispiel. Damit hast Du nun gezeigt, daß f nicht injektiv ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Kreide |
und ist das ok, wie ich das mit der surjektivität begründet habe?
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> und ist das ok, wie ich das mit der surjektivität begründet
> habe?
Hallo,
nein, es ist nicht o.k., es ist völlig unverständlich.
Das hatte Dieter ja auch (nicht ganz so hart...) gesagt, und Kroni hat Dir doch schon gezeigt, wie's geht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Kreide |
wie wäre es bei dieser Funktion
f(n)=n-2
mir ist abschaulich klar, dass sie bijektiv ist
hier kann ich ja diesmal leider kein gegenbeispiel benutzen :(
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injektiv:
f(n)=n+2
f(m)=m+2
n+2=m+2
n=m
Die Gleichung f(n)=f(m) [mm] \Rightarrow [/mm] n=m ist erfüllt und damit ist die funktion injektiv
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surjektiv:
Definiton: f(X)=f(Y)
f(X) sind ALLE ganze Zahlen
f(Y) sind ALLE ganzen Zahlen
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist surjektiv und damit bijektiv
hier würde ich ja eigentlich so ähnlich argumentieren, wie im ersten Thread, was ja nicht ganz korrekt war....
ich weiß einfach nicht, wie ich zeigen soll, dass eine Funktion bijektiv IST
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> wie wäre es bei dieser Funktion
> f(n)=n-2
> mir ist abschaulich klar, dass sie bijektiv ist
Hallo,
mir ist leider überhaupt nichts klar - denn ich weiß ja überhaupt nicht, was Definitions- und Wertebereich sein sollen.
Wenn Du die Funktion mit obiger Funktionsvorschrift nämlich als Funktion von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IZ [/mm] betrachtest, ist die keinesfalls bijektiv. (*)
Merk Dir das: das Geplauder über injektiv und surjektiv ist engstens verbunden mit den Def. und Wertebereichen. Sonst schweigt man besser.
Na gut, ich gehe mal davon aus, daß Du f als Funktion v. [mm] \IZ \to \IZ [/mm] betrachten möchtest, Indizien weisen darauf hin.
> ------------------
> injektiv:
> f(n)=n+2
> f(m)=m+2
>
> n+2=m+2
> n=m
>
> Die Gleichung f(n)=f(m) [mm]\Rightarrow[/mm] n=m ist erfüllt und
> damit ist die funktion injektiv
Du tust hier das Richtige, aber so, wie Du es aufgeschrieben hast, wirst Du keinen Blumentopf gewinnen.
Es fehlt der verbindende Text bzw, die Folgepfeile.
So:
Seien n.m [mm] \in \IZ [/mm] und
sei f(n)=f(m)
==> n+2=m+2
==> n=m
Aus f(n)=f(m) folgt n=m, also ist die Funktion injektiv.
>
> ------------
> surjektiv:
> Definiton: f(X)=f(Y)
Was ist denn das bitteschön für eine Definition?
Was soll X darstellen und was Y? Was meinst Du mit f(X) und mit f(Y), und was hat das mit Surjektivität zu tun?
Ich glaube, Du solltest, bevor Du noch irgendetwas mit Surjektivität beweist, mal die Def. nachschlagen.
Nix Selbstausgedachtes bitte.
Wenn Du die Def. der Surjektivität vorliegen hast, denke über (*) nach.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Kreide |
> > surjektiv:
> > Definiton: f(X)=f(Y)
>
> Was ist denn das bitteschön für eine Definition?
> Was soll X darstellen und was Y? Was meinst Du mit f(X)
> und mit f(Y), und was hat das mit Surjektivität zu tun?
oh ich hatte es falsch in Erinnerung,
f(X)Definittionsbereich
Y WeRtebereich
anschaulich war es mir schon klar:
wenn jeder wert aus f(X) und Y getroffen wird ist die Funktion surjektiv
die defintion aus dem script ist
f surjektiv [mm] \gdw [/mm] f(X)=Y
jeder Zahl aus dem WErtebereich, besitzt einen Partner aus dem Definitionsbereich, bei (*) besäße ja y=-9 z.B keinen x-WErt und ist somit nicht surjektiv, also auch nicht bijektiv
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zum beweis der eigentlichen Aufgabe, wo [mm] \IZ \to \IZ [/mm] gilt:
[mm] f(X)=\IZ
[/mm]
[mm] Y=\IZ
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(X)=Y
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist surjektiv
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> oh ich hatte es falsch in Erinnerung,
> f(X)Definittionsbereich
> Y WeRtebereich
Hallo,
ich fürchte, auch jetzt verstehst Du noch etwas falsch:
In Deinem Skript gibt es gewiß eine Funktion f:X [mm] \to [/mm] Y.
Es ist X der Definitionsbereich, Y der Wertebereich,
und f(X) [mm] (\subseteq [/mm] Y) ist das Bild von X unter der Abbildung f, also die Menge sämtlicher Funktionswerte.
> anschaulich war es mir schon klar:
> wenn jeder wert aus f(X) und Y getroffen wird ist die
> Funktion surjektiv
Die Funktion ist surjektiv, wenn jedes Element von Y von einem Element aus X "getroffen" wird, dh. wenn f(X)=Y.
> jeder Zahl aus dem WErtebereich, besitzt einen Partner aus
> dem Definitionsbereich, bei (*) besäße ja y=-9 z.B keinen
> x-WErt und ist somit nicht surjektiv, also auch nicht
> bijektiv
Ja.
> ---------
>
> zum beweis der eigentlichen Aufgabe, wo [mm]\IZ \to \IZ[/mm] gilt:
>
> [mm]f(X)=\IZ[/mm]
> [mm]Y=\IZ[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(X)=Y
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist surjektiv
Es stimmt zwar, daß die Funktion surjektiv ist, aber den Beweis bleibst Du schuldig.
Warum ist [mm] f(\IZ)=\IZ [/mm] ? Wie kannst Du mich überzeugen?
Du mußt hier zeigen, wie man zu [mm] z\in \IZ [/mm] ein passendes x findet mit f(x)=z.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Kreide |
>
> Du mußt hier zeigen, wie man zu [mm]z\in \IZ[/mm] ein passendes x
> findet mit f(x)=z.
genauer gesagt, muss es heißen "zu jedem x [mm] \in \IZ, [/mm] richtig?
f(x)=x+2, da f(x)=z ist gilt z=x+2
man findet also zu jedem z ein x
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Kreide |
* zu JEDEM z [mm] \in \IZ
[/mm]
die betonung sollte auf JEDEM liegen
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> >
> > Du mußt hier zeigen, wie man zu [mm]z\in \IZ[/mm] ein passendes x
> > findet mit f(x)=z.
>
> genauer gesagt, muss es heißen "zu jedem x [mm]\in \IZ,[/mm]
> richtig?
>
> f(x)=x+2, da f(x)=z ist gilt z=x+2
>
> man findet also zu jedem z ein x
Hallo,
mit dem, was Du dort schreibst, zeigst Du nicht, daß man zu jedem z [mm] \in \IZ [/mm] ein [mm] x\in \IZ [/mm] findet mit f(x)=z.
Allenfalls sind das, was ich dort lese, die Vorbereitungen, die man auf dem Schmierzettel trifft um sich auf den richtigen Gedanken zu bringen.
So könnte man es schreiben:
Sei [mm] z\in \IZ.
[/mm]
Es ist [mm] x_z:=z-2 \in \IZ, [/mm]
und es ist [mm] f(x_z)=f(z-2)=(z-2)+2=z.
[/mm]
Somit ist f surjektiv.
Du mußt zu einem gegebenen z ein passendes x aus der Tasche ziehen und zeigen, daß es funktioniert.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Kreide |
z.z. f(X)=Y
[mm] f(X)=\IZ [/mm]
[mm] Y=\{y\in\IZ|y\ge-5\}
[/mm]
--> [mm] f(X)\not= [/mm] Y
--> nicht surjektiv
ich hab das jetzt geändert. mir ist klar, dass man die "Nichtsurjektivität" auch mit einem Gegenbeispiel zeigen kann,
aber wäre das jetzt so auch korrekt?
ich hatte bisher im kopf das f(Y):= Wertebereich ist
aber Y wird ja als WErtebereich bezeichnet...
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Hallo,
die Aufgabe, auf die Du Dich beziehst, ist ja schon etwas älter, und Du würdest potentiellen Helfern sehr entgegenkommen, würdest Du die Aufgabe einfach nochmal präsentieren und nicht nur Deinen Lösungsversuch. Per "Copy" ist das alles doch gar nicht so mühsam.
Du hast also die Funktion
[mm] f:\IZ \to \IZ [/mm] mit
[mm] f(n):=n^2-5 [/mm] für alle [mm] n\in \IZ,
[/mm]
und Du möchtest die Surjektivität zeigen.
> z.z. f(X)=Y
Schon das wird überhaupt nicht klappen.
Warum nicht?
Da oben gibt's doch gar nicht X und Y!
Du mußt die Buchstaben Deines Skriptes doch auf die Aufgabe übertragen.
Ich weiß natürlich ansatzweise, was Du meinst - aber das reicht überhaupt nicht.
Wir betreiben Mathematik und nicht das Fach "Schwafeln".
Vorhin sagtest Du, daß X der Definitionsbereich sein soll und Y der Wertebereich.
> [mm]f(X)=\IZ[/mm]
Das stimmt doch nicht. Es ist doch nicht ganz [mm] \IZ [/mm] der Bildbereich. Oder fällt Dir ein Element aus [mm] \IZ [/mm] ein, welches auf die 6 abgebildet wird?
> [mm]Y=\{y\in\IZ|y\ge-5\}[/mm]
Wenn Du mit Y den Wertebereich bezeichnest, ist [mm] Y=\IZ [/mm] laut Definition der Funktion. Oder betrachtest Du eine andere?
> --> [mm]f(X)\not=[/mm] Y
> --> nicht surjektiv
>
> ich hab das jetzt geändert. mir ist klar, dass man die
> "Nichtsurjektivität" auch mit einem Gegenbeispiel zeigen
> kann,
> aber wäre das jetzt so auch korrekt?
Es ist gut gemeint und chaotisch ausgeführt.
Wenn X der Wertebereich ist und Y der Definitionsbereich, und wenn es Dir gelingt zu zeigen, daß [mm] f(X)\not=[/mm] [/mm] Y ist, hast du in der Tat gezeigt, daß die Funktion nicht surjektiv ist.
Davon kann aber hier überhaupt nicht die Rede sein, weil Du alle Begriffe munter verquirlst.
Bei dieser Funktion ist [mm] \IZ [/mm] der Defbereich, und [mm] \IZ [/mm] ist der Wertebereich.
Die Funktion ist nicht surjektiv, wenn [mm] f(\IZ)\not= \IZ.
[/mm]
Daß [mm] f(\IZ)\not= \IZ [/mm] gilt, zeigt man sinnigerweise, indem man ein Element aus [mm] \IZ [/mm] angibt, welches nicht in [mm] f(\IZ) [/mm] liegt. (Also ein Gegenbeispiel...)
Und - nur sicherheitshalber, falls Du das denkst: es ist [mm] f(\IZ) [/mm] n i c h t die Menge [mm] \{y\in\IZ|y\ge-5\}, [/mm] sondern eine Teilmenge dieser Menge.
Gruß v. Angela
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