injektiv ; surjektiv < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Fr 13.11.2009 | | Autor: | basso |
Hallo Ihr,
ich habe ein Problem bei einer Aufgabe und würde mich freuen, wenn ihr mir weiter helfen könntet. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Bei einer Antwort würde ich mich auch über eine Herleitung und evtl auch ein wenig Erklärung freuen, da ich es echt nicht verstehe.
Aufgabe:
Sei f : M [mm] \to [/mm] N eine Abbildung.
Man erinnere sich an die Definition von Urbildmengen: Ist V [mm] \subset [/mm] N , so setzt man
[mm] f^{-1} [/mm] (V):={ x [mm] \in [/mm] M ∣ f(x) [mm] \in [/mm] V } . Durch V [mm] \to f^{-1} [/mm] (V) ist dann eine Abbildung [mm] \mathcal{P}(N) \to \mathcal{P}(M)
[/mm]
definiert, die wir hier nennen. Man zeige:
a) f ist genau dann injektiv, wenn surjektiv ist.
b) f ist genau dann surjektiv, wenn injektiv ist.
Ich bedanke mich schon einmal im Voraus für die schnelle Hilfe.
MfG
|
|
| |
|
> Aufgabe:
> Sei f : M [mm]\to[/mm] N eine Abbildung.
> Man erinnere sich an die Definition von Urbildmengen: Ist
> V [mm]\subset[/mm] N , so setzt man
> [mm]f^{-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
(V):={ x [mm]\in[/mm] M ∣ f(x) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V } . Durch V [mm]\to f^{-1}[/mm]
> (V) ist dann eine Abbildung [mm]\mathcal{P}(N) \to \mathcal{P}(M)[/mm]
>
> definiert, die wir hier nennen. Man zeige:
> a) f ist genau dann injektiv, wenn surjektiv ist.
> b) f ist genau dann surjektiv, wenn injektiv ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Zur Aufgabe: wir haben es hiermit zwei Abbildungen zu tun, mit der Abbildung [mm] f:M\to [/mm] N und mit der Abbildung [mm] \phi.
[/mm]
Was tut die Abbildung [mm] \phi? [/mm] Sie bildet aus der Potenzmenge von N, also der Menge aller Teilmengen von N, in die Potenzmenge von M, also die Menge aller Teilmengen von N ab.
Und wie tut sie das?
Jeder Teilmenge von N wird durch [mm] \phi [/mm] ihr Urbild unter der Abbildung f zugeordnet.
Also:
[mm] \phi:\mathcal{P}(N) \to \mathcal{P}(M)
[/mm]
[mm] \phi [/mm] (Y):= [mm] f^{-1}(Y) [/mm] für alle [mm] Y\subseteq [/mm] N.
Zeigen sollst Du nun viererlei:
a1) f ist injektiv ==> surjektiv ist.
a2) [mm] \phi [/mm] ist surjektiv ==> f ist injektiv
b1) f ist surjektiv ==> [mm] \phi [/mm] ist injektiv
b2) [mm] \phi [/mm] ist injektiv ==> f ist surjektiv
Zum Beweis a1)
Unter der Voraussetzung, daß f injektiv ist, ist die Surjektivität von [mm] \phi [/mm] zu zeigen, dh.
zu jeder Teilmenge X von M gibt es eine Teilmenge [mm] Y\in [/mm] N mit [mm] \phi(Y)=f^{-1}(Y)=X.
[/mm]
Ich würde einen Beweis über Widerspruch versuchen, als annehmen, daß [mm] \phi [/mm] nicht surjektiv ist.
Ist soweit alles klar?
Nützlich ist es auch immer, sich die Aussage vorm mal an einem Beispiel zu verdeutlichen.
Nehmen wir die injektive Abbildung [mm] f:\{1,2\} \to \{a,b,c\} [/mm] mit
f(1)=a
f(2)=b.
Was bildet nun [mm] \phi [/mm] auf was ab? Ist die Abbildung wirklich [mm] \phi [/mm] wirklich surjektiv?
Vielleicht kannst Du jetzt mal erste eigene Überlegungen anstellen und erste Schritte gehen.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
