injektiv, surjektiv, bijektiv < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Gutan abend zusammen.
ich habe ein Problem:
Die Begriffe injektiv, surjektiv, bijektiv sagen mir was und ich kann damit auch umgehen. Außer vielleicht mit surjektiv dieser Begriff bereitet mir noch paar Probleme.
Ich habe die Funktion:
f: [mm] \IR\to \IR, [/mm] f(x)=x²+2x
Von vornherein kann ich sagen, dass nicht injektiv, da die funktion für -2 z.B. 2 y Werte annimt. Vorraussetzung ist aber, dass es nur ein y Wert annimt. Wie sieht das mit der surjektivität aus??? Wie kann ich das dort kontrollieren??? Rechnerisch Zeichnerisch, wie auch immer???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ich habe die Funktion:
> f: [mm]\IR\to \IR,[/mm] f(x)=x²+2x
> Von vornherein kann ich sagen, dass nicht injektiv, da die
> funktion für -2 z.B. 2 y Werte annimt.
Hallo,
es stimmt, daß die Funktion nicht injektiv ist, aber Deine Begründung ist verkehrt.
Injektiv bedeutet, daß auf jedes Element des Wertebereiches höchstens ein Element des Definitionsbereiches abgebildet wird.
Daß ist hier nicht gegeben: es ist z.B. f(-2)=f(0)=0.
Es werden also -2 und 0 beide auf die Null abgebildet, und das darf bei injektiv nicht sein.
Surjektiv bedeutet, daß auf jedes Element des Wertebereiches ein Element des Definitionsbereiches abgebildet wird. Kein Element des Wertebereiches darf leer ausgehen.
Auch dies ist bei dieser Funktion nicht gegeben. Du kannst zeigen, daß z.B. auf -2 kein Element abgebildet wird.
Zeichne Dir mal den Graphen der Funktion und versuche, die Aussagen im Bild wiederzufinden.
Gruß v. Angela
Vorraussetzung ist
> aber, dass es nur ein y Wert annimt. Wie sieht das mit der
> surjektivität aus??? Wie kann ich das dort kontrollieren???
> Rechnerisch Zeichnerisch, wie auch immer???
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Gut ich hatte mir die Funktion nicht richtig vorgestellt. Jetzt sehe ich das erstmal richtig. Sie haben recht. im Prinzip wird ja die x Achse 2 mal geschnitten. Es darf aber höchstens nur einen Wert geben.
mit der Surjektivität kann ich mir das immer noch nicht so richtig erklären!!!
Ich sehe zwar, dass das Bild, welches von -2 abgebildet wird 0 ist. Aber soll das schon die Definition sein???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 So 04.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
das mit -2 hast du falsch verstanden . der Wert f(x)=-2 kommt nicht vor!
damit das surj auf [mm] \IR [/mm] ist, müssen aber alle Zahlen aus R als Bild -also f(x)- vorkommen.
Wenn du nur einen einzigen Wert im Bildbereich findest, der nicht erreicht wird, ists nicht surjektiv! dabei gehts also um f(x)
Gruss leduart.
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Achso okay. Also langsam hab ich das Gefühl ich steige dort durch. injektiv bedeutet, dass alle Parallelen der x- Achse im Prinzip nur einmal getroffen werden. surjektiv, dass alle Parallelen der y- Achse nur einmal getroffen werden. Ich würde jetzt mal die Funktion f(x)=x betrachten. Müsste die dann im Prinzip nicht beides sein???
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> Achso okay. Also langsam hab ich das Gefühl ich steige dort
> durch.
Hallo,
bevor wir über Parallelen reden, müssen wir klären, welche Art von Funktionen wir besprechen.
Wenn wir über solche sprechen, deren Definitions- und Wertebereich [mm] \IR [/mm] ist, dann bedeutet
injektiv: jede Parallele zur x-Ache wird höchstens einmal getroffen
surjektiv: jede Parallele zur x-Ache wird mindestens einmal getroffen
bijektiv: jede Parallele zur x-Ache wird genau einmal getroffen
> alle Parallelen der y- Achse nur einmal getroffen werden.
Die Parallelen zur y-Achse aben damit nichts zu tun:
wenn eine Parallele zur y-Achse v. Graphen zweimal geschnitten wird, haben wir keine Funktion vorliegen.
> Ich würde jetzt mal die Funktion f(x)=x betrachten. Müsste
> die dann im Prinzip nicht beides sein???
Ja, die ist injektiv und surjektiv, also bijektiv auf [mm] \IR.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Gut okay.
Das bedeutet also im Prinzip, würde ich jetzt so sagen, dass injektiv heißt, dass ich zu jedem Definitionsbereich höchstens einen Wertebereich erhalte. Wenn ich also die Funktion [mm] f:\IR\to\IR [/mm] f(x)=x² habe, dann ist diese im Prinzip nicht injektiv, da ich ja z.B. für meinen Definitionsbereich bei einer Zahl wie (-2) und 2 mehrere Wertebereiche erhalte.
Surjektiv bedeutet, dass wenn ich dieselbe Funktion habe, ich zu jedem Wert meines Definitionsbereiches eine Zahl x finden muss, welche diesen Abbildet. z.B. kann ich den Wertebereich 4 mit meiner zahl x=2 oder x=(-2) erhalten. Dann wäre sie surjektiv. Aber dieses gilt ja z.B. nicht für andere Zahlen wie z.B. den negativen. Dahert diese nicht surjektiv.
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Hallo,
mach Dich bitte unbedingt schlau über die Begriffe Definitionsbereich und Wertebereich, Du verwendest sie verkehrt.
Injektiv bedeutet, daß zwei verschiedene Elemente des Definitionsbereiches stets auf zwei verschiedene Elemente des Wertebereiches abgebildet werden.
Wenn ich also die
> Funktion [mm]f:\IR\to\IR[/mm] f(x)=x² habe, dann ist diese im
> Prinzip nicht injektiv, da ich ja z.B. für meinen
> Definitionsbereich bei einer Zahl wie (-2) und 2 mehrere
> Wertebereiche erhalte.
Wenn Du die Funktion von [mm] \IR \to \IR [/mm] betrachtest ist sie nicht injektiv, weil f(2)=f(-2)
> Surjektiv bedeutet, dass wenn ich dieselbe Funktion habe,
> ich zu jedem Wert meines Definitionsbereiches
Wertebereiches
> eine Zahl x
> finden muss, welche diesen Abbildet.
Dies ist bei Deiner Funktion f(x)=x² nicht der Fall, sofern man sie von [mm] \IR \to \IR [/mm] betrachtet.
Kein Element wir auf -4 abgebildet. Es gibt kein x mit f(x)=-4.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:57 Di 06.11.2007 | | Autor: | dodov8423 |
Also gut.
In der Mathematik werden die Begriffe Wertemenge oder Wertebereich in Bezug auf eine Funktion f:A [mm] \to [/mm] B verwendet. Die Funktion bildet die Elemente einer Menge A (der Definitionsmenge) auf Elemente einer Menge B (der Zielmenge) ab.
Aber worauf muss ich jetzt genau bei der Injektivität und worauf bei der Surjektivität achten???
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> Also gut.
> In der Mathematik werden die Begriffe Wertemenge oder
> Wertebereich in Bezug auf eine Funktion f:A [mm]\to[/mm] B
> verwendet. Die Funktion bildet die Elemente einer Menge A
> (der Definitionsmenge) auf Elemente einer Menge B (der
> Zielmenge) ab.
> Aber worauf muss ich jetzt genau bei der Injektivität und
> worauf bei der Surjektivität achten???
Hallo,
was möchtest Du jetzt genau wissen?
Ich habe Injektivität und Surjektivität doch bereits erklärt.
Lies diese Erklärungen nochmal durch, und stell dann, sofern nicht alles klar ist, konkrete Fragen.
Gruß v. Angela
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Naja so die definitionen sind mir ja fast klar. Ich dachte nur, man könnte dies noch konkreter machen. Habe echt so meine Probleme mit den Begriffen. Auch wenn sie vielleicht einfach zu handhaben sind. Z.B. heißt ja Injektivität:
daß auf jedes Element des Wertebereiches höchstens ein Element des Definitionsbereiches abgebildet wird.
Das heißt meine Definitionsmenge A darf nur eine Wertemenge B erzeugen.
z.B. ist bei der schon genannten Funktion sowie (-2) als auch 0=0 bzw.
f(-2)=f(0)=0. Das darf nicht sein. Es darf nur eine einzige Zahl geben, die diese Menge abbildet wenn ich das richtig verstanden habe.
Surjektivität heißt:
daß auf jedes Element des Wertebereiches ein Element des Definitionsbereiches abgebildet wird. Kein Element des Wertebereiches darf leer ausgehen.
Mit dieser Definition fällt es mir schwerer. Was darf meine Definitionsmenge erzeugen und was nicht??? Oder worauf kommt es hier (für blödies wie mich  ) an???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Di 06.11.2007 | | Autor: | Seppi |
"Surjektivität heißt:
daß auf jedes Element des Wertebereiches ein Element des Definitionsbereiches abgebildet wird. Kein Element des Wertebereiches darf leer ausgehen.
Mit dieser Definition fällt es mir schwerer. Was darf meine Definitionsmenge erzeugen und was nicht??? Oder worauf kommt es hier (für blödies wie mich ) an???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt."
Surjektiv ist eine Funktion dann, wenn jedes Element der Zielmenge, also des Wertebereiches mindestens einmal angenommen wird.
Es muss also jeder Wert auf der y-Achse mindestens einmal als Funktionswert von f(x) angenommen sein.
Vielleicht wird es verständlicher, wenn man die sinus oder cosinus-Funkion betrachtet:
für alle x [mm] \in \IR [/mm] ist sin x zwischen -1 und 1.
Wenn jetzt der Wertebereich dieser Funktion zwischen -1 und 1 eingeschränkt wird, ist die Funkion surjektiv.
Wird der Wertebereich aber auf alle reellen Zahlen ausgedehnt, ist die Funktion nicht mehr surjektiv, da alle Zahlen außerhalb [mm] \pm1 [/mm] nicht erreicht werden.
also:
sin : [mm] \IR \to [/mm] [-1;1] Funktion ist surjektiv
sin : [mm] \IR \to \IR [/mm] Funkion ist nicht surjektiv
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Gut und die Zielmenge bzw. der Wertebereich ist jetzt schätze ich mal die y- Achse. Definitionsbereich x- Achse.
Ich verstehe das jetzt folgendermaßen:
Solange ich eine lineare Funktion (also z.B. f(x)=x, f(x)=2x, f(x)=3x+4), kann ich eigentlich immer sagen, dass diese surjektiv ist, da sie ja so ziemlich jeden Wert von y annimmt.
habe ich aber quadratische funktion (also z.B. f(x)=x², f(x)=sinx, f(x)=cosx), kann ich das nicht sagen, da ja bei diesen Funktionen Werte wie z.B. (-2) nicht definiert sind. D.h. entweder wird vorgegen, dass man sie nur auf surjektivität in einem bestimmten Intervall betrachten soll, oder man schränkt sie selber ein.
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Hallo,
ich finde das gut, daß Du Dich hinter die Sache klemmst, und das verstehen willst.
Aber ich muß Dir sagen, daß Du mit "Gelaber" nicht weiterkommst. Damit meine ich Sachen wie "schätze ich", "kann eigentlich immer sagen", "ziemlich jeden Wert von y ".
Du mußt, wenn Du Mathematik betreiben willst oder auch mußt, streng an die Definitionen gehen und Dich deutlich ausdrücken.
Wie sollen Dir sonst die Dinge klar werden!
> Gut und die Zielmenge bzw. der Wertebereich ist jetzt
> schätze ich mal die y- Achse.
Den Wertebereich (vielleicht besser: zugelassener Wertevorrat) bzw. die ![[]](/images/popup.gif) Zielmenge schätzen wir nicht.
Sie liegt fest, bzw. wird von uns festgelegt, wenn wir Funktionen definieren.
Auch Seppi hat den Wertebereich festgelegt, man braucht das nur abzulesen.
> Definitionsbereich x- Achse.
Hiermit hast Du im konkreten Fall recht, weil Seppi erlaubt, daß in seine Funktionen jede reelle Zahl eingesetzt werden darf, ist der Definitionsbereich [mm] =\IR.
[/mm]
Das muß aber nicht so sein. Du selbst wirst Funktionen kennen, bei denen man den Def.bereich einschränken muß, und oft werden ja auch Funktionen auf Intervallen definiert.
> Ich verstehe das jetzt folgendermaßen:
> Solange ich eine lineare Funktion (also z.B. f(x)=x,
> f(x)=2x, f(x)=3x+4), kann ich eigentlich immer sagen,
Kannst Du es immer sagen, oder nicht
> dass
> diese surjektiv ist, da sie ja so ziemlich jeden Wert von y
> annimmt.
Was meinst Du mit y? Die Zielmenge? Wie ist die Zielmenge in Deinen Beispielen?
Und: für surjektiv reicht es nicht, daß ziemlich jeder Wert der Zielmenge angenommen wird. Es muß jeder angenommen werden.
> habe ich aber quadratische funktion (also z.B. f(x)=x²,
> f(x)=sinx, f(x)=cosx), kann ich das nicht sagen, da ja bei
> diesen Funktionen Werte wie z.B. (-2) nicht definiert sind.
Du drückst Dich falsch aus.
Du meinst sicher, daß es kein Element der Definitionsmenge gibt, welches auf -2 abgebildet wird.
> D.h. entweder wird vorgegen, dass man sie nur auf
> surjektivität in einem bestimmten Intervall betrachten
> soll, oder man schränkt sie selber ein.
Wenn man feststellt, daß eine Funktion nicht surjektiv ist, kann man sie zu einer surjektiven Funktion machen, indem man den Wertebereich, die Zielmenge, so einschränkt, daß man alle Elemente, auf die keines abgebildet wird, herausnimmt. Man behält nur die y aus dem Wertebereich, für welche es ein x aus dem Definitionsbereich gibt mit f(x)=y.
Wenn man das so einfädelt, kann die (eingeschränkte) Funktion nicht anders, als surjektiv zu sein. Wir zwingen sie dazu.
Gruß v. Angela
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> Den Wertebereich (vielleicht besser: zugelassener Wertevorrat) bzw. die Zielmenge schätzen wir nicht.
Das man die Zeilmenge nicht schätzt weiß ich ja auch .
Ich wollte nur fragen bzw. wissen ob, wenn ich eine Funktion habe mit [mm] f:\IR \to \IR, [/mm] f(x)=x²
Dann ist x mein Definitionsbereich. Also meine x-Achse. Hier setze ich ja alle Reellen Zahlen für x ein. Was sich ergibt ist meine Zielmenge und diese wird ja auf der y- Achse abgebildet.
z.B. f(2)=4
x=2, y=4
Das ist mir ja klar.
Ich hab da auch ein paar Aufgaben zu. Die ich berechnen sollte und soweit auch alle richtig habe. Vielleicht liegt das ja auch daran, dass ich mich nicht richtig ausdrücken kann. Das muss ich dann auch noch lernen. Da habt ihr recht.
Ich habe hier mal ein Beispiel:
Ich soll prüfen ob folgende Funktion Injektiv und surjektiv:
[mm] f:\IR \to \IR, [/mm] f(x)= x²+2x.
Weder injektiv (da auf jedes Element des Wertebereiches mehrere Elemente des Definitionsbereiches abgebildet werde), noch surjektiv (Es sei denn ich schränke den Wertebereich der Funktion auf -1, bis [mm] +\infty [/mm] ein.
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> Ich wollte nur fragen bzw. wissen ob, wenn ich eine
> Funktion habe mit [mm]f:\IR \to \IR,[/mm] f(x)=x²
> Dann ist x mein Definitionsbereich.
Nein!!!!
Der Definitionsbereich ist die MENGE, der Du Dein x entnehmen darfst.
In Deinem Fall sind das die reellen Zahlen, und in der Tat ist das im Koordniatensystem die komplette x-Achse.
> Also meine x-Achse.
> Hier setze ich ja alle Reellen Zahlen für x ein. Was sich
> ergibt ist meine Zielmenge und diese wird ja auf der y-
> Achse abgebildet.
Es ist die Zielmenge die Menge, aus der die Funktionswerte sein dürfen, manchmal wird auch Wertevorrat dazu gesagt oder Wertebereich.
Die x werden auf Elemente aus dem Werteberich abgebildet.
Dein Werteberich [mm] \IR [/mm] ist die komplette y-Achse.
> z.B. f(2)=4
> x=2, y=4
> Das ist mir ja klar.
> Ich hab da auch ein paar Aufgaben zu. Die ich berechnen
> sollte und soweit auch alle richtig habe. Vielleicht liegt
> das ja auch daran, dass ich mich nicht richtig ausdrücken
> kann. Das muss ich dann auch noch lernen. Da habt ihr
> recht.
> Ich habe hier mal ein Beispiel:
> Ich soll prüfen ob folgende Funktion Injektiv und
> surjektiv:
> [mm]f:\IR \to \IR,[/mm] f(x)= x²+2x.
> Weder injektiv (da auf jedes Element des Wertebereiches
> mehrere Elemente des Definitionsbereiches abgebildet
> werde),
Das stimmt nicht - und Du wirst merken, daß hier wieder Formulierungs- und Gedankenungenauigkeiten dahinterstecken:
Auf die -5 (und viele andere!) wird kein einzige Element abgebildet. (Du behauptest: auf jedes werden mehrere drauf abgebildet.)
Auf die -1 wird nur ein Element abgebildet, nämlich die 0. (Du behauptest: auf jedes werden mehrere drauf abgebildet.)
Für alle y>-1 werden stets 2 Elemente auf den Wert abgebildet.
Um die Injektivität zu widerlegen, ist es am eindrucksvollsten, wenn Du ein Gegenbeispiel lieferst, z.B. f(-3)=f(1)=3.
> noch surjektiv
Richtig. Das eine Element -5, auf welches keines abgebildet wird, reicht, um die Surjektivität auf [mm] \IR [/mm] platzen zu lassen.
> (Es sei denn ich schränke den
> Wertebereich der Funktion auf -1, bis [mm]+\infty[/mm] ein.
Ich bin entzückt! Genau!
Gruß v. Angela
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Gut endlich mal!!!
Also ich merke, ich habe Probleme, mich auszudrücken aber irgendwie keine injektivität und surjektivität zu beweisen. Das beste was man machen kann ist, um injektivität zu beweisen einfach das Gegenbeispiel zu zeigen. Wie in dem Beispiel von eben z.B. f(-3)=f(1)=3. Ohne mich dann großartig in Formulierungsschwierigkeiten zu bringen. bei der Surjektivität mach ich das dann immer genauso wie eben. War ja anscheinend entzückend!!!
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> Gut endlich mal!!!
> Also ich merke, ich habe Probleme, mich auszudrücken aber
> irgendwie keine injektivität und surjektivität zu beweisen.
> Das beste was man machen kann ist, um injektivität zu
> beweisen einfach das Gegenbeispiel zu zeigen.
Ogottogott! Hoffentlich ist das ein Scherz...
Du kannst doch nicht die Injektivität durch ein Gegenbeispiel beweisen.
Du kannst die Injektivität duch ein Gegenbeispiel widerlegen.
Gruß v. Angela
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Ja mal wieder mein Fehler. Ich will mit dem gegenbeispiel beweisen, dass eine Funktion nicht injektiv ist. so.
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> Ja mal wieder mein Fehler. Ich will mit dem gegenbeispiel
> beweisen, dass eine Funktion nicht injektiv ist. so.
Dann bin ich ja beruhigt.
Gruß v. Angela
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> Z.B. heißt ja Injektivität:
> daß auf jedes Element des Wertebereiches höchstens ein
> Element des Definitionsbereiches abgebildet wird.
Hallo,
das ist richtig.
> Das heißt meine Definitionsmenge A darf nur eine Wertemenge B erzeugen.
Egal, welche Eigenschaften Deine Funktion hat, obiges wird immer richtig sein.
> z.B. ist bei der schon genannten Funktion sowie (-2) als
> auch 0=0 bzw.
> f(-2)=f(0)=0. Das darf nicht sein.
Genau. Für Injektivität darf das nicht sein.
> Es darf nur eine
> einzige Zahl geben, die diese Menge abbildet wenn ich das
> richtig verstanden habe.
Zahlen bilden keine Mengen ab. Die Dinger, die abbilden, sind die Funktionen.
Und Deine Funktion bildet keine Mengen ab. Sie bildet Elemente des Definitionsbereiches auf Elemente des Wertebereiches ab.
> Surjektivität heißt:
> daß auf jedes Element des Wertebereiches ein Element des
> Definitionsbereiches abgebildet wird. Kein Element des
> Wertebereiches darf leer ausgehen.
Ja.
> Mit dieser Definition fällt es mir schwerer. Was darf
> meine Definitionsmenge erzeugen und was nicht??? Oder
> worauf kommt es hier (für blödies wie mich ) an???
Es kommt darauf an, daß Du zu jedem Element des Wertebereiches ein Element aus dem Definitionsbereich findest, welches drauf abgebildet wird.
Schau Dir doch mal dies an, insbesondere die Pünktchenbilder: Injektivität,Surjektivität, Bijektivität.
Gruß v. Angela
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