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| Aufgabe | Überprüfen sie folgende Funktionen auf Bijektivität, Injektivität und Surjektivität.
f: R --> R, x--> [mm] x^2, [/mm] x [mm] \ge [/mm] 0
f: R--> R , [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x + 1
f: R--> R , [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x + 1 , für x [mm] \ge [/mm] 0 |
Ich habe mir folgendes überlegt: die 1. Funktion müsste bijektiv sein, da ich für 2 unterschiedliche werte stets zwei unterschiedliche Funktionswerte erhalte.
Sie ist jedoch nicht surjektiv, da z.b die 3 von keinem Urbild getroffen wird.
Zur 2. Funktion:
Sie müsste ebenfalls injektiv sein, und auch surjektiv, daher bijektiv.
Die 3. Funktion ist meiner Meinung nach injektiv, aber nicht surjektiv.
Was ist richtig, und was ist falsch?
DANKE!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 Mo 13.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi Spinne,
(über ein "Hallo" freuen wir uns auch immer  )
> Ich habe mir folgendes überlegt: die 1. Funktion müsste
> bijektiv sein, da ich für 2 unterschiedliche werte stets
> zwei unterschiedliche Funktionswerte erhalte.
also meinst du "injektiv", richtig ?
>
> Sie ist jedoch nicht surjektiv, da z.b die 3 von keinem
> Urbild getroffen wird.
aber [mm] $\wurzel{3}$ [/mm] trifft doch die 3...
was soll das [mm] $x\ge [/mm] 0$ eigentlich hinter der Funktionsbeschreibung bedeuten ? Soll das heißen nur der Def.Bereich ist auf nicht-negative Werte beschränkt?
>
> Zur 2. Funktion:
>
> Sie müsste ebenfalls injektiv sein, und auch surjektiv,
> daher bijektiv.
ähm, ja, aber die Begründung fehlt !
>
> Die 3. Funktion ist meiner Meinung nach injektiv, aber
> nicht surjektiv.
richtig, aber auch hier fehlt die Begründung.
viele Grüße
DaMenge
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Die begründung habe ich in meinen aufgaben angegeben :)
Wollte nur wissen ob es so richtig ist wie ich es mir überlegt habe.
x [mm] \ge [/mm] o soll bedeuten daß ich hier nur positive x werte einsetzen darf, auch die null.....
dann habe ich die wohl leider falsch :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Mo 13.02.2006 | | Autor: | djmatey |
Hi,
die Schreibweise ist so eher merkwürdig für den Definitionsbereich bei der ersten Funktion.
Du schreibst erst
[mm] f:\IR \to \IR
[/mm]
,d.h. f ist für alle reellen Zahlen definiert. Dann schränkst Du den Def.-Bereich ein für x [mm] \ge [/mm] 0. Eigentlich schreibt man dann direkt
f: [mm] [0,\infty) \to \IR
[/mm]
Injektivität und Surjektivität hängen eng mit dieser Beschreibung, d.h. dem Def.-Bereich und Bildraum von f, zusammen.
So ist
x [mm] \mapsto x^{2}
[/mm]
für Def.-Bereich x [mm] \ge [/mm] 0 nur bijektiv, falls der Bildraum auch [mm] [0,\infty) [/mm] ist, d.h. für
f: [mm] [0,\infty) \to [0,\infty)
[/mm]
Für
f: [mm] [0,\infty) \to \IR [/mm] ist f nur injektiv, aber nicht surjektiv, da es für alle negativen reellen Zahlen kein Urbild gibt.
Liebe Grüße,
Matthias.
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