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| Aufgabe | Sei G [mm] \in \IF_q^kxn [/mm] eine Matrix. Die Abbildung
[mm] \mu [/mm] : [mm] \IF_q^k \to \IF_q^n
[/mm]
x [mm] \mapsto [/mm] xG
ist genau dann eindeutig wenn die Zeilen von G linear unabhängig sind. |
Beweis:
okay, [mm] \mu [/mm] ist ja genau dann eindeutig, wenn [mm] \mu [/mm] injektiv ist.
Das heißt, aus xG=yG muss x=y folgen.
[mm] z_1,...,z_k \in \IF_q^n [/mm] seien die Zeilen von G.
[mm] x=(\lambda_1,...,\lambda_k) \in \IF_q^k.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] 0=xG=\summe_{i=1}^{k}\lambda_i [/mm] * [mm] z_i
[/mm]
Die Gleichung gilt nur dann, wenn x=0, d.h. die Zeilen von G linear unabhängig sind.
Ich hänge hier fest. Ich weiß nicht ob das bis hier hin stimmt und mir fehlt der Ansatz für die rückrichtung.
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> Sei G [mm]\in \IF_q^kxn[/mm] eine Matrix. Die Abbildung
> [mm]\mu[/mm] : [mm]\IF_q^k \to \IF_q^n[/mm]
> x [mm]\mapsto[/mm] xG
> ist genau dann eindeutig wenn die Zeilen von G linear
> unabhängig sind.
> Beweis:
> okay, [mm]\mu[/mm] ist ja genau dann eindeutig, wenn [mm]\mu[/mm] injektiv
> ist.
> Das heißt, aus xG=yG muss x=y folgen.
> [mm]z_1,...,z_k \in \IF_q^n[/mm] seien die Zeilen von G.
> [mm]x=(\lambda_1,...,\lambda_k) \in \IF_q^k.[/mm]
> Dann gilt:
> [mm]0=xG=\summe_{i=1}^{k}\lambda_i[/mm] * [mm]z_i[/mm]
>
> Die Gleichung gilt nur dann, wenn x=0, d.h. die Zeilen von
> G linear unabhängig sind.
>
> Ich hänge hier fest. Ich weiß nicht ob das bis hier hin
> stimmt und mir fehlt der Ansatz für die rückrichtung.
Dein Ansatz beweist eigentlich schon beide Richtungen. Zunächst stellt man fest, da es sich um eine lineare Abbildung handelt ist [mm] \mu [/mm] genau dann injektiv, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor besteht.
Die zweite Feststellung ist, das [mm] \mu(x) [/mm] für beliebiges x eine Linearkombination der Zeilenvektoren von G ist mit den Komponenten von x als Koeffizienten. Damit gilt
[mm] \mu [/mm] injektiv <=> aus [mm] \mu(x)=0 [/mm] folgt x=0 <=> wenn eine Linearkombination der Zeilen 0 ergibt, müssen alle Koeffizienten 0 sein <=> die Zeilen sind linear unabhängig
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Erst einaml Vielen Dank für die Antwort. Mein Problem besteht darin, dass mein Prof. neben den Beweis folgende Anmerkungen geschrieben hat:
-"Sie nehmen also an, dass die Abbildung eindeutig ist. Das würde bedeuten, dass Sie nur eine Richtung beweisen"
-"G inj. [mm] \gdw [/mm] Rang(G)=k (da Sie annehmen, dass k [mm] \le [/mm] n ist)"
Daher stecke ich fest. Ich dachte dass der Beweis so ich ihn gemacht habe sinnig ist.
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> Erst einaml Vielen Dank für die Antwort. Mein Problem
> besteht darin, dass mein Prof. neben den Beweis folgende
> Anmerkungen geschrieben hat:
> -"Sie nehmen also an, dass die Abbildung eindeutig ist.
> Das würde bedeuten, dass Sie nur eine Richtung beweisen"
Das bezieht sich möglicherweise auf deine Formulierung "... Die Gleichung gilt nur dann, wenn x=0", was nur bei injektivem [mm] \mu [/mm] der Fall ist.
Grundsätzlich funktioniert der beweis jedenfalls in beiden Richtungen, wenn man es entsprechend hinschreibt.
> -"G inj. [mm]\gdw[/mm] Rang(G)=k (da Sie annehmen, dass k [mm]\le[/mm] n
> ist)"
Sieht mir eher nach einer Anmerkung aus. Trifft zu, ist aber für den Beweis nicht entscheidend.
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> Daher stecke ich fest. Ich dachte dass der Beweis so ich
> ihn gemacht habe sinnig ist.
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