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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Sa 31.01.2015 | | Autor: | ivanhoe |
| Aufgabe | Es gilt für eine k-Form und einem Vektorfeld der Form:
$X = [mm] X^i \bruch{\partial}{\partial x^i}$
[/mm]
[mm] $i_X(dx^1 \wedge [/mm] ... [mm] \wedge dx^k) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{k} (-1)^{i-1} X_i dx^1 \wedge [/mm] ... [mm] \wedge \overline{dx^i} \wedge [/mm] ... [mm] \wedge dx^k [/mm] $
wobei [mm] $\overline{dx^i} [/mm] $ bedeutet, dass man den faktor weglässt. |
Hallo Leute,
Ich stolpere beim Wiederholen immer wieder über Probleme mit Differentialformen. Ich habe wohl Vorstellungsschwierigkeiten. Ich denke, das diese Gleichung nicht so schwer zu lösen ist, allerdings fehlen in meinem Skript Zwischenschritte und von alleine komme ich einfach nicht darauf, wie man das löst.
Die Definition des inneren Produkts, so haben wir das nicht genannt, aber im Internet bin ich über den Namen gestolpert, sieht so aus:
[mm] $i_X(w)(X_1, ...X_{k-1}) [/mm] = w(X, [mm] X_1, [/mm] ..., [mm] X_{k-1})$
[/mm]
Man erzeugt also eine (k-1)-Form aus einer k-form. Mir ist aber nicht klar, wie man das genau löst.
Ich bedanke mich schonmal für die Hilfe.
Viele Grüße
ivanhoe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Sa 31.01.2015 | | Autor: | huddel |
Hi Ivanhoe :)
Ich hoffe, dass ich formell hier alles richtig mache, aber verlass dich nicht darauf, dass du alles einfach so abschreiben kannst. Inhaltlich sollte es richtig sein.
Fangen wir bei deiner Anschaung an. Ich hoffe ich langweile dich jetzt nicht erstmal zu tode :D. Ich geh mal davon aus, dass du ein wenig Grundwissen aus der Linearen Algebra hast um zu wissen, was ein Vektorraum und dessen Dualraum ist (ja ich fang nochmal von forne an :D )
Wir nemen einfachheitshalber mal an, dass unser Affiener Raum [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \mathbb{R}^n$ [/mm] ist. Damit ist Grundraum und der Richtungsraum der gleiche und die dualen Elemente sind auch einfacher. Nun können wir uns ja eine Basis des [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] wählen. Z.B. die Standardbasis [mm] $(e_1,...,e_n)$. [/mm] Soweit so gut. Nun ist ein Vektorfeld ja nichts anderes als eine Abbildung von unserem Grundraum in den dazugehörigen Richtungsraum, also in unserm fall $X [mm] \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ [/mm] und lässt sich daher schreiben als [mm] $X_p [/mm] := X(p) = [mm] (X_1(p),...,X_n(p))$ [/mm] mit [mm] $X_i \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$. [/mm] nun ist ja jedes [mm] $X_i$ [/mm] bild von $X$ unter der Projektion [mm] $x_i \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ [/mm] auf die i-te Koordinate. Damit lässt sich dann auch die Bezeichnung [mm] $\partial_i [/mm] := [mm] \frac{\partial}{\partial x_i} [/mm] = [mm] e_i$ [/mm] erklären lässt, womit dann $X = [mm] \sum_{k=1}^{n} X_i \partial_i$ [/mm] ist. Diese Basisvektoren erzeugen nun eine zugehörige Basis im Dualraum, die wir jetzt ("sinnigerweise") [mm] $dx_i$ [/mm] nennen. Die Vorraussetzung an diese ist, dass [mm] $dx_i(\partial_j) [/mm] = [mm] \delta_{ij}$ [/mm] ist. Folglich wäre [mm] $dx_i(X) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n X_i dx_i(\partial_k) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n X_i \delta_{ik} [/mm] = [mm] X_k$
[/mm]
Mit anderen Worten, wir schmeißen eigentlich die ganze zeit nur mit Basisvektoren um uns und lassen es kompliziert aussehen...
Nun kann man daraus erstmal so genannte 1-Formen, Kovektorfelder oder wie man sie nennen möchte bauen, in dem wir die Koeffizienten jetzt noch vom Punkt abhängig machen, sprich [mm] $\omega \in (\mathbb{R}^{n})^*$ [/mm] in der Form [mm] $\omega [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n a_k dx_k$ [/mm] wobei gilt [mm] $a_k \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ [/mm] ist. damit gilt für $p [mm] \in \mathbb{R}^n$ $\omega_p [/mm] = [mm] \omega [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n a_k(p) dx_k$
[/mm]
Wenn ich nun also oben gegebenes Vektorfeld in unser [mm] $\omega_p$ [/mm] einsetze bekomme ich [mm] $\omega_p(X) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n a_k(p) dx_k(X_p) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n a_k(p) X_k(p)$
[/mm]
Damit wäre das für den Dualraum geklärt. Nun einen Schritt weiter
Wie ich schon sagte, die [mm] $dx_i$ [/mm] erzeugen den Dualraum und diesen kann man nun weiternutzen um den Tensorproduktraum und den Raum der Alternaierenden Multilinearformen zu erzeugen. Wir bleiben bei zweiteren:
Definiere dazu [mm] $Alt^{k}\mathbb{R}^n$ [/mm] als die Menge aller alternierenden k-multilinearen Abbildungen von [mm] $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$. [/mm] Nun kann man zeigen, dass die Elemente der Form [mm] $dx_{i_1}\wedge [/mm] ... [mm] \wedge dx_{i_k}$ [/mm] mit [mm] $dx_{i_1} \wedge [/mm] ... [mm] dx_{i_l} \wedge dx_{i_m} \wedge [/mm] ... [mm] \wedge dx_{i_k} [/mm] = - [mm] dx_{i_1} \wedge [/mm] ... [mm] dx_{i_m} \wedge dx_{i_l} \wedge [/mm] ... [mm] \wedge dx_{i_k}$ [/mm] (hierraus folgt dirrekt, dass [mm] $dx_{i_1} \wedge [/mm] ... [mm] dx_{i_l} \wedge dx_{i_l} \wedge [/mm] ... [mm] \wedge dx_{i_k} [/mm] = 0$ ist) eine Basis für unsern Raum [mm] $Alt^k \mathbb{R}^n$ [/mm] bilden und wir jede k-Form [mm] $\omega \in Alt^k \mathbb{R}^n$ [/mm] (aha daher der Name 1-Form) darstellen können durch [mm] $\sum a_{i_1,...,i_k} dx_{i_1} \wedge [/mm] ... [mm] \wedge dx_{i_k}$. [/mm] Also wieder nichts anderes als Basisvektoren aneinander reihen...
Nun ist eure Abbildung [mm] $i_X$ [/mm] nichts anderes als [mm] $\omega$ [/mm] mit X auswerten, wobei da die Leibnizregeln gelten, das heißt: für [mm] \omega \in Alt^l \mathbb{R}^n$, $\mu \in Alt^m \mathbb{R}^n$ [/mm] ist [mm] $i_X(\omega \wedge \mu) [/mm] = [mm] i_X(\omega)\wedge \mu [/mm] + [mm] (-1)^k \omega \wedge i_X(\mu)$. [/mm] Somit können wir wieder alles auf die 1-Formen runterbrechen.
Daraus folgt:
[mm] $i_X(dx_1 \wedge [/mm] ... [mm] \wedge dx_k) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^k [/mm] ...$ okey, ein wenig Denkleistung muss ich auch noch dir überlassen :P
Schreib doch mal, wie du jetzt weiter machen würdest.
Ich hoffe, ich hab dich nun nicht erschlagen und konnte dir weiterhelfen :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Sa 31.01.2015 | | Autor: | ivanhoe |
hallo huddel,
erstmal nen riesen Dank für die ganze Hilfe!!!
Es hilft meinem Verständnis enorm, dass du so weit ausgeholt hast :D
Ich verstehe jetzt auf jeden Fall die Idee hinter den [mm] $dx_i$ [/mm] und [mm] $\bruch{\partial}{\partial x_i}$, [/mm] aber mein Problem ist im Moment noch, dass ich mit dem Dach-Produkt so meine Schwierigkeiten habe
Meine Abbildung [mm] $i_X(\omega) [/mm] = [mm] \omega(X)$ [/mm] oder?
Das heißt, wenn ich das Ausrechnen will, dann ist
[mm] $i_X(dx^1 \wedge [/mm] ... [mm] \wedge dx^n) [/mm] = [mm] (dx^1 \wedge [/mm] ... [mm] \wedge dx^n)(X)$
[/mm]
oder?
okay, das heißt, man muss nur noch verstehen, wie das Dachprodukt funktioniert:
Hier versuche ich immer mal für n=2 das nachzurechnen, also das Dachprodukt von $ [mm] dx^1 \wedge dx^2$, [/mm] das ist ja eine 2 Form, das heißt, ich wende das an auf ein Vektorfeld $X = [mm] (X_1,X_2)$, [/mm] aber hier ist mein Problem mit der Definition, die ist schwer zu verstehen:
[mm] $\omega \wedge \eta [/mm] = [mm] \bruch{(k+l)!}{k!l!} Alt(\oemga \otimes \eta)$
[/mm]
wobei $Alt$ der Alternator ist, also
[mm] $Alt(\omega) [/mm] = [mm] \bruch [/mm] {1}{k!} [mm] \summe_{\tau \in \Sigma_k} [/mm] (sign [mm] \tau) \tau\omega$
[/mm]
vielleicht kannst du mir ja helfen, das richtig zu verstehen.
Es würde schon für $ [mm] dx^1 \wedge dx^2$ [/mm] reichen zu sehen wie das funktioniert auf dem Vektorfeld $X$
Ich mein, es muss ja rauskommen:
$ [mm] (dx^1 \wedge dx^2) [/mm] (X) = [mm] X_1 (dx^1 \wedge dx^2)(\partial_1, \partial_2) [/mm] + [mm] X_2(dx^1 \wedge dx^2)(\partial_1, \partial_2)$
[/mm]
jetzt weiß ich, dass [mm] $dx_i(\partial_j) [/mm] = [mm] \delta_{ij}$, [/mm] aber was verlangt das Dachprodukt?
Ich hoffe mein Problem wird deutlich.
Schonmal vielen Dank
ivanhoe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Sa 31.01.2015 | | Autor: | huddel |
Okey, dann auf die harte Tour :P
Mit andern worten, du weißt schon, wie ein tensorpordukt definiert ist, richtig?
Hast du beispielsweise einen [mm] $T_r^0$-Tensor $\omega$ [/mm] und einen [mm] $T_s^0$-Tensor $\mu$, [/mm] kann man punktweise einen [mm] $T_{r+s}^0$-Tensor $\omega \otimes \mu$ [/mm] definieren, indem man sagt:
[mm] $\forall v^1,...,v^{r+s} \in \mathbb{R}^n$ [/mm] (wir bleiben mal beim einfachen Fall)$: [mm] \omega \otimes \mu (v^1,...,v^{r+s}) [/mm] := [mm] \omega (v^1,...,v^r) \cdot \mu (v^{r+1},...,v^{r+s})$ [/mm] (Hier sind nun alle [mm] $v^i$s [/mm] einzelne Vektoren und keine Vektoreinträge... wird langsam verwirrend -.-)
(zeige Wohldeffiniert, existent,...)
da sind jetzt aber alle Multilinearformen enthalten, sprich alternierende, nicht alternierende und welche die es in manchen Einträgen tun und in anderen nicht. Da wollen wir jetzt alles symetrische rausschmeißen und definieren uns einen tollen alternator:
dazu einen kleinen Schritt vorweg: Sei [mm] $\omega \in Alt^k(\mathbb{R}^n)$ [/mm] also schon alternierend, dann gilt [mm] $\forall\sigma \in \Sigma_k, \forall v^1,...,v^n \in \mathbb{R}^n:$ $sign(\sigma)\cdot \omega(v^{\sigma(1)},...,v^{\sigma(k)}) [/mm] = [mm] \omega(v^1,...,v^k)$ [/mm] (Was relativ leicht zu sehen ist, wenn man sich nochmal ins Hirn ruft, was alternierend nochmal genau heißt)
Sei nun erstmal ein normaler [mm] $T_r^0$-Tensor $\tilde{\nu}$ [/mm] gegeben, dann definieren wir uns für alle [mm] $v^1,...,v^k \in \mathbb{R}^n$ [/mm] eine alternierende r-Form
[mm] $\nu(v^1,...,v^k) [/mm] := [mm] \frac{1}{r!} \sum_{\sigma \in \Sigma_r}sign(\sigma) \tilde{\nu}(v^{\sigma(1)},...,v^{\sigma(r)})$
[/mm]
Dass das Sinn ergibt sieht man folgendermaßen: Seit [mm] $\nu \in Alt^k(\mathbb{R}^n)$, [/mm] dann gilt:
[mm] $\frac{1}{k!} \sum_{\sigma \in \Sigma_r} sign(\sigma) \nu(v^{\sigma(1)},...,v^{\sigma(r)})$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{k!} \sum_{\sigma \in \Sigma_r} \nu(v^1,...,v^r)$ [/mm] Wie wir eben gesehen haben
$= [mm] \frac{1}{k!} [/mm] k! [mm] \nu(v^1,...,v^r)$ [/mm] da [mm] $|\Sigma_k| [/mm] = k!$ ist
$= [mm] \nu$
[/mm]
Nun nemen wir uns [mm] $\omega \in Alt^k(\mathbb{R}^n)$ [/mm] und [mm] $\mu \in Alt^m(\mathbb{R}^n)$ [/mm] und bauen uns erstmal eine Multilinearform [mm] $\omega \otimes \mu$ [/mm] wie oben und basteln uns daraus, analog zu eben, ein neues tolles Dachprodukt:
[mm] $\omega \wedge \mu(v^1,...,v^{k+m}) [/mm] := [mm] \frac{1}{k!m!} \sum_{\sigma \in \Sigma_{k+m}} sign(\sigma) \omega \otimes \mu(v^{\sigma(1)},...,v^{\sigma(k+m)}) [/mm] = [mm] \frac{1}{k!m!} \sum_{\sigma \in \Sigma_{k+m}} sign(\sigma) \omega(v^{\sigma(1)},...,v^{\sigma(k)}) \cdot \mu(v^{\sigma(k+1)},...,v^{\sigma(k+m)})$
[/mm]
Jetzt müsste man eigentlich zeigen, dass das ding noch bilinear, assoziativ und graduiert kommutativ (alto alternierend ist) aber das ist, finde ich, anschaulich recht klar und sparen wir uns hier :D
Nun zu deiner Aufgabe und dem Ansatz, den du gewählt hast. Da ist ein kleiner Denkfehler drin: Du wolltest $ X = [mm] (X_1,X_2) [/mm] $ einsetzen, jedoch ist $ [mm] X\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ [/mm] ein Vektorfeld mit n Komponenten und wird durch deine Abbildung [mm] $i_X\colon Alt^k(\mathbb{R}^n) \to Alt^{k-1}(\mathbb{R}^n)$ [/mm] nur in die erste Komponente eingesetzt, was in den ganzen Definitionen doch etwas verwirrend ist, wie man zugeben muss...
Wir Spielen das Spiel mal für den Fall $k = 2$ durch:
wir nemen also [mm] $\omega [/mm] = [mm] dx_1 \wedge dx_2$. [/mm] Damit sind [mm] $dx_1, dx_2 \in Alt^1(\mathbb{R}^n)$ [/mm] und wir wenden obrige Definition an:
Sei $v [mm] \in \mathbb{R}^n$, [/mm] dann gilt:
[mm] $i_X(dx_1 \wedge dx_2)(v) [/mm] := [mm] dx_1 \wedge dx_2(X,v) [/mm] = [mm] \frac{1}{1!1!} \sum_{\sigma \in \Sigma_2} sign(\sigma)dx_1(\sigma(X)) \cdot dx_2(\sigma(v))$ [/mm] Wobei [mm] $\sigma(X)$ [/mm] und [mm] $\sigma(v) [/mm] meinen, dass halt entweder das eine, oder das andere nimmt, ich denke sollte klar sein, was gemeint ist...
$= [mm] dx_1(X)\cdot dx_2(v) [/mm] - [mm] dx_1(v) \cdot dx_2(X)$
[/mm]
$= [mm] X_1dx_2(v) [/mm] - [mm] X_2dx_1(v)$
[/mm]
Wir haben also durch einsetzen aus einer 2-Form eine (Tommelwirbel...) 1-Form gebastelt, die jetzt halt vom Parameter $ v $ abhängt.
Die "allgemeine" Form überlass ich mal dir. Kannst ja mal noch schreiben, was du gemacht hast, wenn du Lust hast :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 So 01.02.2015 | | Autor: | ivanhoe |
Hallo huddel,
nochmal vielen vielen Dank!!!!
Ich hätte niemals mit so ausführlichen Antworten gerechnet! Du hast mir endlich einen Zugang zu Differentialformen gegeben!
Okay ich habe jetzt, denke ich verstanden, wie man das ausrechnet. Notationsmäßig bin ich mir nicht ganz sicher, wie man das macht, es gibt sicher schönere Lösungen, aber ich denke, von der Idee müsste ich richtig liegen.
Ich würde mich freuen, wenn du dann nochmal einen Blick drüber wirfst.
Also
Seien [mm] $v^1, [/mm] ..., [mm] v^{k-1} [/mm] in [mm] $\IR^k$
[/mm]
$ [mm] i_X(dx^1 \wedge [/mm] ... [mm] \wedge dx^k)(v^1, [/mm] ..., [mm] v^{k-1}) [/mm] = [mm] (dx^1 \wedge [/mm] ... [mm] \wedge dx^k)(X, v^1, [/mm] ..., [mm] v^{k-1}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{1!...1!} \summe_{\sigma \in \Sigma_{k}} sign(\sigma) (dx^1\otimes [/mm] ... [mm] \otimes dx^k) (\sigma(X), v^{\sigma(1)}, [/mm] ..., [mm] v^{\sigma(k-1)})$
[/mm]
Jetzt interessieren uns ja nur die [mm] $\sigma$ [/mm] die X transponieren, also gibt es insgesamt $k$ Stück, einmal das [mm] $\sigma$, [/mm] das nichts ändert, $X$ also an 1. Stelle, usw.
Sei [mm] $\sigma_i$, [/mm] die Permutation, die $X$ an die i-te Stelle setzt, dann sieht das so aus:
[mm] sign(\sigma_i) dx^1(v^1)... dx^i(X)...dx^k(v^{k-1}) [/mm] = [mm] sign(\sigma_i) X^i (dx^1... \overline{dx^i} [/mm] ... [mm] dx^k)(v^1, ...v^{k-1})
[/mm]
jetzt muss man sich nur noch überlegen, dass [mm] $sign(\sigma_i) [/mm] = [mm] (-1)^{i-1}$ [/mm] ist, was logisch ist, weil man, um $X$ von der 1. Stelle an die i- Stelle zu bekommen, $X$ um $i-1$ Positionen verschieben muss.
Fasst man das zusammen ergibt sich:
[mm] \bruch{1}{1! ... 1!} \summe_{i=1}^k sign(\sigma_i) X^i \summe_{sigma \element \Sigma_k} sign(\sigma) (dx^1 \otimes [/mm] ... [mm] \otimes \overline{dx^i} \otimes [/mm] ... [mm] \otimes dx^k)(v^1, [/mm] ... , [mm] v^{k-1}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{k} X^i (dx^1 \wedge [/mm] ... [mm] \overline{dx^i} \wedge [/mm] ... [mm] \wedge dx^k)(v^1, [/mm] ..., [mm] v^{k-1})
[/mm]
weil die [mm] $\sigma$, [/mm] die bleiben, nicht mehr aus [mm] $\Sigma_k$ [/mm] sind, sondern nur noch aus [mm] $\Sigma_{k-1}$ [/mm] und wir tatsächlich eine k-1 Form erzeugt haben.
Wie gesagt, Notation usw muss nicht stimmen, aber ich denke, die Idee hast du mir verständlich gemacht :D
Vielen, vielen Dank! Ehrlich du hast mir das ganze Zeug wesentlich klarer gemacht :D Ich werde mich wieder hier melden, wenn ich nochmal über etwas stolpere.
Im Endeffekt ist das alles vielleicht garnicht so schwer, es ist nur so mit Definitionen überladen, dass man schwer durchblickt, aber deine Herangehensweise ist super.
Ich wäre froh, wenn du nochmal drüber schaust und mir sagst, ob das so okay ist.
viele Grüße
ivanhoe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 So 01.02.2015 | | Autor: | huddel |
Hey ivanhoe,
Es freut mich, dass ich dir helfen konnte und ich kann dich verstehen, ich das erste mal davor stand dachte ich auch nur, was zum Geier die von mir wollen :D
Mir ist eben aufgefallen, dass ich in meinem vorherigen Post einige [mm] $sign(\sigma)$s [/mm] vergessen habe, welche ich jetzt nachgetragen habe...
Scheint dich aber nicht großartig gestört zu haben, wie ich sehe. Das ganze sieht schonmal garnicht schlecht aus. 2 Dinge nur noch:
1.: das mit dem [mm] $\frac{1}{1!...1!}$ [/mm] passt leider nicht ganz, da du ja immer nur einen Eintrag aus dem ganzen rausfischst und dort das $ X $ einsetzt, das heißt, wenn du es komplett auflösen möchtest bräuchtest du eine k-Fach Summe immer mit einem [mm] $\frac{1}{(k-l)!}$ [/mm] vorne dran, da du ja eigentlich jedes [mm] $\wedge$ [/mm] einzeln auflösen müsstest. Der Vorteil ist, dass eine Permutation verknüpft mit einer Permutation wieder eine Permutation ist und wir am ende eigentlich nur über alle [mm] $\sigma \in \Sigma_k$ [/mm] summieren müssen. Das einzige was ist, dass du halt vorne dran ein [mm] $\frac{1}{(k-1)! \cdot ... \cdot 1!}$ [/mm] statt einem [mm] $\frac{1!...1!}$ [/mm] stehen hast und noch etwas argumentieren musst, dass sich das ganze ja nachher wieder auflöst. (warum kürzt sich das [mm] $\frac{1}{(k-1)!} [/mm] wieder auf, welches ja dadruch entstanden ist, dass wir das Dachprodukt am anfang auseinander gerissen haben? Ich hab mir noch nicht großartig Gedanken darüber gemacht, aber ich denke das kommt daher, dass wir ja Permutationen von Permutationen betrachten und dabei einige mehrfach auftreten, die man dann rauskürzen kann. Guck dir das nochmal genauer an. Ansonsten guck ich mir das auch später nochmal an, wenn du nicht drauf kommst. Ich hasse Kombinatorik xD.)
2.: du hast ganz am ende das [mm] $(-1)^{i-1}$ [/mm] vergessen :D
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 So 01.02.2015 | | Autor: | ivanhoe |
hey huddel,
stimmt, du hast natürlich recht mit den Fakultäten am anfang, da hab ich es mir etwas einfach gemacht. Aber es sollte kein Problem sein, das nochmal auszuführen, wozu ich haber keine Lust habe :D
Kombinatorik is auch nicht meins ^^
Im Prinzip habe ich verstanden, worum es geht. Das ist wirklich enorm viel :D also nochmal vielen Dank!
Ich werd mich wieder hier melden, wenn ich über ne Frage stolper! Du hast das echt super erklärt.
viele Grüße
ivanhoe
PS die Fehler von dir habe ich als zusätzliche Herausforderung verstanden :D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:01 Mo 02.02.2015 | | Autor: | huddel |
Für alle die es noch interessiert:
Ich überspring nun ein paar schritte
[mm] $dx_1 \wedge [/mm] ... [mm] \wedge dx_k(v_1,...,v_k) [/mm] = [mm] \frac{1}{(k-1)!}\sum_{\sigma \in \Sigma_k} dx_1(v_{\sigma(1)}) \frac{1}{(k-2)!} \sum_{\tilde{\sigma} \in \Sigma_{k-1}} dx_2(v_{\tilde{\sigma}(\sigma(2))}) dx_3 \wedge [/mm] ... [mm] \wedge dx_k(v_{\tilde{\sigma}(\sigma(3))},...,v_{\tilde{\sigma}(\sigma(k))})=\frac{1}{(k-1)!(k-2)!}\sum_{\sigma \in \Sigma_k} \sum_{\tilde{\sigma} \in \Sigma_{k-1}}dx_1(v_{\sigma(1)}) dx_2(v_{\tilde{\sigma}(\sigma(2))}) dx_3 \wedge [/mm] ... [mm] \wedge dx_k(v_{\tilde{\sigma}(\sigma(3))},...,v_{\tilde{\sigma}(\sigma(k))})$
[/mm]
Nun ist [mm] $\tilde{\sigma}$ [/mm] bijektiv, das heißt [mm] $\forall \sigma_1 \in \Sigma_k \forall \tilde{\sigma} \in \Sigma_{k-1} \exists \sigma_2 \in \Sigma_k:$ $\sigma_1(\tilde{\sigma}(1),...,\tilde{\sigma}(k-1),k) [/mm] = [mm] \sigma_2(1,...,k)$
[/mm]
Das heißt wir können die ganzen [mm] $\tilde{\sigma}$ [/mm] hinten auch weglassen und das ganze sieht wie folgt aus:
[mm] $dx_1 \wedge [/mm] ... [mm] \wedge dx_k(v_1,...,v_k) [/mm] = [mm] \frac{1}{(k-1)!(k-2)!}\sum_{\sigma \in \Sigma_k} \sum_{\tilde{\sigma} \in \Sigma_{k-1}}dx_1(v_{\sigma(1)}) dx_2(v_{\sigma(2)}) dx_3 \wedge [/mm] ... [mm] \wedge dx_k(v_{\sigma(3)},...,v_{\sigma(k)})$
[/mm]
Und wegen [mm] $|\Sigma_{k-1}| [/mm] = (k-1)!$ ergibt sich hierraus:
[mm] $dx_1 \wedge [/mm] ... [mm] \wedge dx_k(v_1,...,v_k) [/mm] = [mm] \frac{1}{(k-2)!}\sum_{\sigma \in \Sigma_k} dx_1(v_{\sigma(1)}) dx_2(v_{\sigma(2)}) dx_3 \wedge [/mm] ... [mm] \wedge dx_k(v_{\sigma(3)},...,v_{\sigma(k)})$
[/mm]
Wenn man dies nun mit allen vorherigen Argumenten zusammensetzt ergibt sich die Behauptung...
q.e.d und so weiter
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