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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Do 17.04.2008 | | Autor: | lenz |
| Aufgabe | zeigen sie:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] < [mm] \integral_{0}^{1} {\bruch{dx}{\wurzel{4-x^{2}+x^{3}}}} [/mm] < [mm] \bruch{\pi}{6} [/mm] |
hallo
es soll irgendwie über die monotonie des integrals gezeigt werden mit
[mm] \integral_{0}^{1}{f} =\bruch{1}{2} ,\integral _{0}^{1}{g} =\bruch{\pi}{6}
[/mm]
und aus f< [mm] \bruch{1}{\wurzel{4-x^{2}+x^{3}}} [/mm] < g folgt [mm] \integral{f} [/mm] < [mm] \integral {1}{\wurzel{4-x^{2}+x^{3}}} <\integral{g}
[/mm]
ich hab [mm] f=\bruch{1}{2} [/mm] scheint falsch zu sein da das ein kleiner gleich wäre
vielleicht jemand einen tip?
danke im voraus
gruß lenz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Do 17.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lenz,
> zeigen sie:
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] < [mm]\integral_{0}^{1} {\bruch{dx}{\wurzel{4-x^{2}+x^{3}}}}[/mm]
> < [mm]\bruch{\pi}{6}[/mm]
> hallo
> es soll irgendwie über die monotonie des integrals gezeigt
> werden mit
> [mm]\integral_{0}^{1}{f} =\bruch{1}{2} ,\integral _{0}^{1}{g} =\bruch{\pi}{6}[/mm]
>
> und aus f< [mm]\bruch{1}{\wurzel{4-x^{2}+x^{3}}}[/mm] < g folgt
> [mm]\integral{f}[/mm] < [mm]\integral {1}{\wurzel{4-x^{2}+x^{3}}} <\integral{g}[/mm]
>
> ich hab [mm]f=\bruch{1}{2}[/mm] scheint falsch zu sein da das ein
> kleiner gleich wäre
Verstehe ich Dich richtig: Dich stört es, dass Du "nur" ein [mm] $\frac{1}{2} \le [/mm] ...$ herausbekommst, anstelle von [mm] $\frac{1}{2} [/mm] <$? Also hier der Fall der Gleichheit noch vorkommen könnte?
Mache doch diese Abschätzung erst mal mit [mm] $\frac{1}{2}$, [/mm] dann hast Du ja ein [mm] $\le$ [/mm] da stehen, wenn Dir der Beweis dazu gelingt.
Aus $0 [mm] \le [/mm] f(t) [mm] \le [/mm] g(t)$ auf $[0,1]$ (oder $(0,1)$ oder wie auch immer) folgt zwar, wie Du sagst, richtigerweise erstmal [mm] $\int_0^1 [/mm] f(t)dt [mm] \le \int_0^1 [/mm] g(t)dt$, nur:
Sind $f$ und $g$ dort stetig und gibt es wenigstens eine Stelle [mm] $x_0$ [/mm] in dem Intervall, so dass [mm] $f(x_0) [/mm] < [mm] g(x_0)$, [/mm] so dürfen wir aus dem [mm] $\le$ [/mm] oben ein $<$ machen:
Dieses Ergebis folgt z.B., weil man dann in einer genügend kleinen [mm] $x_0$-Umgebung [/mm] auch stets $f(x) < g(x)$ erreichen kann und diese Umgebung hat ein Lebesgue-Maß mit einem Wert $>0$. Da sollte man sich aber ein wenig in der Lebesgueschen Maßtheorie auskennen. Es geht natürlich auch mit Riemann-Summen.
Schau' mal nach. Solch' einen Satz findest Du sicher in Deinen Unterlagen zur Analysis, wenn nicht in der Vorlesung, dann ggf. in einer Übungsaufgabe. Und Deine Funktionen oben sind auf $[0,1]$ stetig, dann brauchst Du nur ein solches [mm] $x_0$ [/mm] angeben, um dessen Existenz nachzuweisen.
P.S.:
Nicht vom Graphen der Funktion täuschen lassen. Wenn man sich den zeichnen läßt, sieht das so aus, als wäre $f$ auf $[0,1)$ konstant [mm] $=\frac{1}{2}$. [/mm] Dass das gar nicht sein kann, zeigt aber schon die erste Ableitung von $f$...
Also:
Zeige, dass [mm] $\bruch{1}{\wurzel{4-x^{2}+x^{3}}} \ge \frac{1}{2}$, [/mm] z.B. auf $(0,1)$, und zeige z.B., dass es ein $0 < [mm] x_0 [/mm] < 1$ gibt mit
[mm] $\bruch{1}{\wurzel{4-x_0^{2}+x_0^{3}}}>\frac{1}{2}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Do 17.04.2008 | | Autor: | lenz |
danke schonmal
soll heißen wenn f an einer stelle größer als g ist ist die fläche unter f größer als die fläche unter g
wenn ich das richtig interpretiere,leuchtet ein.
bei dem kleiner als [mm] \bruch{\pi}{6} [/mm] weiß ich jetzt nicht genau wie das zu zeigen ist.
also eine möglichkeit ist vermutlich 1 und 2 ableitung bilden,und das globale maximum
ermitteln.jetzt weiß ich ehrlich gesagt nicht wie ich [mm] \bruch{1}{\wurzel{4-x^{2}+x^{3}}}
[/mm]
richtig ableite und wie ich die nuillstellen finde.bei der 1 ableitung komme ich auf
[mm] -\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel[3]{4-x^{2}+x^{3}}}*(-2x+3x^{2}).wäre [/mm] das richtig
oder müßte ich noch quotientenregel anwenden?
eigentlich müßte es doch reichen [mm] -x^{2} +x^{3} [/mm] auf extrema zu untersuchen,oder nicht?
die hat allerdings keine nullstellen im intervall (0,1).
vielleicht jemand nen hinweis?
gruß lenz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Do 17.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> danke schonmal
> soll heißen wenn f an einer stelle größer als g ist ist
> die fläche unter f größer als die fläche unter g
> wenn ich das richtig interpretiere,leuchtet ein.
> bei dem kleiner als [mm]\bruch{\pi}{6}[/mm] weiß ich jetzt nicht
> genau wie das zu zeigen ist.
das weiß ich auch an der Stelle noch nicht, soviel habe ich mich noch nicht mit der Aufgabe befasst.
> also eine möglichkeit ist vermutlich 1 und 2 ableitung
> bilden,und das globale maximum
> ermitteln.
Das ist meines Erachtens jedenfalls durchaus ein vernünftiger Ansatz. "Globales" Maximum bzgl. der Funktion eingeschränkt auf $[0,1]$ meinst Du wohl, nehme ich an.
> jetzt weiß ich ehrlich gesagt nicht wie ich
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{4-x^{2}+x^{3}}}[/mm]
> richtig ableite und wie ich die nuillstellen finde.bei der
> 1 ableitung komme ich auf
> [mm]-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel[3]{4-x^{2}+x^{3}}}*(-2x+3x^{2}).wäre[/mm]
> das richtig
Nein! Das solltest Du nochmal nachrechnen (wenngleich es "Ähnlichkeiten" zu der wahren Ableitung gibt und es bei Dir vielleicht nur ein "Zahlendreher" ist).
> oder müßte ich noch quotientenregel anwenden?
Man kann es auch mit Quotientenregel etc. Ich empfehle Dir, einfach mal folgendes:
[mm] $\bruch{1}{\wurzel{4-x^{2}+x^{3}}}=\frac{1}{(4-x^2+x^3)^{\frac{1}{2}}}$
[/mm]
Das könntest Du nun mit der Quotientenregel und "Potenzregel" [mm] ($\leftarrow$ ich hoffe, die heißt so) und Kettenregel ableiten. Oder aber Du gehst einen Schritt weiter und schreibst noch:
$\frac{1}{(4-x^2+x^3)^{\frac{1}{2}}}=(4-x^2+x^3)^{-\frac{1}{2}}$
Siehst Du Deinen Fehler? (Du hast im Nenner $\sqrt[\red{3}]{...}$ anstelle von $\sqrt{(...)^3}$, also bist "nahe" bei der wahren Ableitung.)
> eigentlich müßte es doch reichen [/mm] [mm]-x^{2} +x^{3}[/mm] auf
> extrema zu untersuchen,oder nicht?
Ich würde - von der Logik her - die Funktion $x [mm] \mapsto 4-x^2+x^3$ [/mm] auf Extrema untersuchen:
$x [mm] \mapsto 4-x^2+x^3$ [/mm] hat (in $[0,1]$) Minimum an der (den?) Stelle(n)..., also folgt ...
Ich will das jedenfalls nicht verneinen, aber das solltest Du begründen (mit der Monotonie der Wurzelfunktion sollte das machbar sein, hoffe ich; ggf. solltest Du halt selbst nach einer Begründung suchen).
> die hat allerdings keine nullstellen im intervall (0,1).
Du solltest bei der Suche nach Extrema von $x [mm] \mapsto -x^2+x^3$ [/mm] in $(0,1)$ ja auch nicht deren Nullstellen bestimmen, sondern die Nullstellen der zugehörigen Ableitung, damit Du die kritischen Punkte erkennst.
Also:
Nicht [mm] $-x^2+x^3=0$, [/mm] sondern [mm] $-2x+3x^2=0$ [/mm] liefert Dir Kandidaten für Extremstellen 
Und der Kandidat [mm] $x_0=0$ [/mm] interessiert uns nicht, also bleibt wegen
[mm] $-2x+3x^2=0$ $\gdw$ [/mm] $x(-2+3x)=0$
der Kandidat [mm] $x=\frac{2}{3}$... [/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Do 17.04.2008 | | Autor: | lenz |
alles klar
danke nochmal
lenz
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