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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 So 01.02.2015 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Zeige, dass für t>0 gilt
[mm] \integral_\IR{x^2e^{-tx^2}dx}=-\bruch{d}{dt}\integral_\IR{e^{-tx^2}dx}
[/mm]
Benutze dies zur Berechnung von [mm] \integral_\IR{x^2e^{-x^2}dx}, [/mm] wobei [mm] \integral_\IR{e^{-tx^2}dx}=\wurzel{\pi} [/mm] |
hallo
also ich bin folgend herangegangen, indem ich es von hinten gezeigt habe d.h. ich muss zeigen dass ich die ableitung in das Integral ziehen kann, oder?
[mm] -\bruch{d}{dt}\integral_\IR{e^{-tx^2}dx}=\bruch{d}{dt}\integral_\IR{-e^{-tx^2}dx}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{1}{h}(\integral_\IR{-e^{-(t+h)x^2}dx}-\integral_\IR{-e^{-tx^2}dx})=\limes_{h\rightarrow 0}(\integral_\IR{\bruch{e^{-tx^2}-e^{-(t+h)x^2}}{h}dx})
[/mm]
wir hatten eine mal eine ähnlich aufgaben bei dem wir vom Integral
[mm] \integral{e^{tx}\bruch{sinx}{x}dx} [/mm]
die Ableitung bestimmen.
ich habe mich daran orieniertiert.
aber dann steht in der Lösung [mm] \limes_{h\rightarrow0}(\bruch{e^{-(t+h)x}-e^{-tx}}{h})=e^{-tx}=-xe^{-tx}
[/mm]
in meinem fall würde es gegen [mm] e^{-tx^2} [/mm] konvergieren für h gegen 0.
meine frage jetzt:warum ist es so? ich hätte gesagt dass es gegen 0 konvergiert.
ich bin für jede hilfe dankbar und hoffe ihr könnt mir bei der Aufgabe weiterhelfen.
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Hallo mimo1,
> Zeige, dass für t>0 gilt
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> [mm]\integral_\IR{x^2e^{-tx^2}dx}=-\bruch{d}{dt}\integral_\IR{e^{-tx^2}dx}[/mm]
>
> Benutze dies zur Berechnung von
> [mm]\integral_\IR{x^2e^{-x^2}dx},[/mm] wobei
> [mm]\integral_\IR{e^{-tx^2}dx}=\wurzel{\pi}[/mm]
> hallo
>
> also ich bin folgend herangegangen, indem ich es von hinten
> gezeigt habe d.h. ich muss zeigen dass ich die ableitung in
> das Integral ziehen kann, oder?
>
> [mm]-\bruch{d}{dt}\integral_\IR{e^{-tx^2}dx}=\bruch{d}{dt}\integral_\IR{-e^{-tx^2}dx}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{1}{h}(\integral_\IR{-e^{-(t+h)x^2}dx}-\integral_\IR{-e^{-tx^2}dx})=\limes_{h\rightarrow 0}(\integral_\IR{\bruch{e^{-tx^2}-e^{-(t+h)x^2}}{h}dx})[/mm]
>
> wir hatten eine mal eine ähnlich aufgaben bei dem wir vom
> Integral
>
> [mm]\integral{e^{tx}\bruch{sinx}{x}dx}[/mm]
> die Ableitung bestimmen.
> ich habe mich daran orieniertiert.
>
> aber dann steht in der Lösung
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}(\bruch{e^{-(t+h)x}-e^{-tx}}{h})=e^{-tx}=-xe^{-tx}[/mm]
>
> in meinem fall würde es gegen [mm]e^{-tx^2}[/mm] konvergieren für
> h gegen 0.
>
> meine frage jetzt:warum ist es so? ich hätte gesagt dass
> es gegen 0 konvergiert.
>
Betrachte Zähler und Nenner des Ausdruckes:
[mm]\bruch{e^{-tx^2}-e^{-(t+h)x^2}}{h}[/mm]
Zähler und Nenner gehem hier für h gegen 0 ebenfalls gegen 0.
Somit liegt hier ein unbestimmter Ausdruck der Form "[mm]\bruch{0}{0}[/mm]" vor.
Das ist somit ein Fall für L'hospital.
> ich bin für jede hilfe dankbar und hoffe ihr könnt mir
> bei der Aufgabe weiterhelfen.
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 So 01.02.2015 | | Autor: | mimo1 |
dankeschön, darauf müsste ich eigenlich auch selber kommen :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:45 Mo 02.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> aber dann steht in der Lösung
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}(\bruch{e^{-(t+h)x}-e^{-tx}}{h})=e^{-tx}=-xe^{-tx}[/mm]
Das erste "=" ist falsch !
Die Sache mit l'Hospital zu bearbeiten , halte ich für überzogen.
Sei x fest und setze [mm] f(t):=e^{-tx}
[/mm]
Dann gilt
[mm] $\bruch{e^{-(t+h)x}-e^{-tx}}{h}=\bruch{f(t+h)-f(t)}{h} \to f'(t)=-xe^{-tx}$ [/mm] für $h [mm] \to [/mm] 0$.
FRED
>
> in meinem fall würde es gegen [mm]e^{-tx^2}[/mm] konvergieren für
> h gegen 0.
>
> meine frage jetzt:warum ist es so? ich hätte gesagt dass
> es gegen 0 konvergiert.
>
> ich bin für jede hilfe dankbar und hoffe ihr könnt mir
> bei der Aufgabe weiterhelfen.
>
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