integral berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
| Aufgabe | Berechnen Sie das folgende Integral:
[mm] \integral_{-2}^{-1}{(\bruch{1}{x^{2}}+\bruch{1}{x^{3}}) dx} [/mm] .
Bestimmen Sie weiter mittels Integration den Inhalt der Fläche A, die von der Geraden y=4-x, y=2x und 3y=x eingeschlossen ist.
Bestimmen Sie anschließend das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Fläche A um die x-Achse entsteht. |
Hat irgendjemand ne Ahnung wie ich das machen soll?
Steh total auf em Schlauch.
Vielen Dank für Eure Hilfe schon jetzt.
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Hallo,
berechne zunächst die Stammfunktionen von [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] und [mm] \bruch{1}{x^{3}}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Ich habe jetzt folgendes berechnet:
[mm] \integral_{-2}^{-1}{(\bruch{1}{x^{2}}+\bruch{1}{x^{3}}) dx}
[/mm]
Stammfunktionen gebildet:
[mm] \integral_{-2}^{-1}{(\bruch{x}{x^{3}-3}+\bruch{x}{x^{4}-4}) dx}
[/mm]
Habe dann die Grenzen eingesetzt:
[mm] [(\bruch{-1}{-1^{3}-3}+\bruch{-1}{-1^{4}-4})]-[(\bruch{-2}{-2^{3}-3}+\bruch{-2}{-2^{4}-4})]
[/mm]
Ausmultipliziert:
[mm] \bruch{1}{4}+\bruch{1}{3}-(\bruch{2}{11}-\bruch{1}{6}
[/mm]
Habe als Lösung dann erhalten:
[mm] \bruch{25}{44}
[/mm]
Stimmt das soweit?
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Hallo Achilles!
Die Stammfunktion von [mm] \integral{\bruch{1}{x^2} dx} [/mm] ist doch nicht [mm] \bruch{x}{x^3-3} [/mm] und die Stammfunktion von [mm] \integral{\bruch{1}{x^3} dx} [/mm] doch nicht [mm] \bruch{x}{x^4-4}. [/mm] Versuch doch mal zu differenzieren!
Übrigens musst du hier laut Summenregel der Integralrechnung doch das Integral aufspalten:
[mm] \integral_{-2}^{-1}{\bruch{1}{x^2} dx}+\integral_{-2}^{-1}{\bruch{1}{x^3} dx}
[/mm]
Gruß
Angelika
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Wie macht man das denn mit dem differenzieren?
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Hallo Achilles!
Da die Integration doch gewissermaßen die Umkehrung zur Differenziation(Ableitung) ist, dachte ich, du solltest vielleicht deine Stammfunktion erstmal ableiten, um zu sehen ob du den Integranden erhälst. Das wäre die Probe für die Richtigkeit deiner Stammfunktion.
Z.B die Stammfunktion von [mm] \integral{\bruch{1}{x^2} dx} [/mm] ist [mm] -\bruch{1}{x}+C
[/mm]
Denn die Ableitungsfunktion von [mm] -\bruch{1}{x}+C [/mm] ist [mm] \bruch{1}{x^2}
[/mm]
Gruß
Angelika
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
ist denn [mm] -\bruch{1}{x}+C [/mm] nicht auch ne Stammfunktion von dem zweiten Term?
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Hallo Achilles!
Wie kommst du darauf? Der 2. Term lautet doch [mm] \integral{\bruch{1}{x^3} dx}. [/mm] Die Ableitung von [mm] -\bruch{1}{x}+C [/mm] ist aber nicht [mm] \bruch{1}{x^3}.
[/mm]
Gruß
Angelika
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
C ist doch ne Konstante oder nicht?
Dann kann ich die also frei wählen oder lieg ich falsch?
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Hallo Achilles!
Ich versteh jetzt nicht genau auf was du hinauswillst. Aber konstante Summanden wie C fallen bei der Ableitung doch weg.
Steffi antwortet vielleicht etwas preziser!
Und ja, diese konstate ist nicht genau definierbar, sie ist variabel weil:
Z.B
Die Ableitungsfunktion von [mm] x^2+3 [/mm] ist 2x
Die Ableitungsfunktion von [mm] x^2+5 [/mm] ist 2x
Die Ableitungsfunktion von [mm] x^2-3 [/mm] ist 2x
Wenn du die Stammfunktion von 2x bildest [mm] x^2+C [/mm] dann kannst du ja nicht sagen welche Konstatent C bei der ursprünglichen Funktion dabeistand. Deshalb drückst du diese als Variable C aus.
Gruß
Angelika
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Hallo, du kannst doch bestimmt schon die Stammfunktion von [mm] x^{5} [/mm] bilden [mm] \bruch{1}{5+1}x^{5+1}=\bruch{1}{6}x^{6}
[/mm]
Stammfunktion zu [mm] \bruch{1}{x^{2}}=x^{-2} [/mm] lautet ...
Stammfunktion zu [mm] \bruch{1}{x^{3}}=x^{-3} [/mm] lautet ...
jetzt bist du dran
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
also käme da dann da [mm] -\bruch{1}{x} [/mm] raus bzw. [mm] -\bruch{1}{2}*x^{2}
[/mm]
richtig?
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Hallo
ich denke mal, nur ein Schreibfehler von dir [mm] -\bruch{1}{x}-\bruch{1}{2x^{2}} [/mm] und jetzt die Grenzen einsetzen, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Ja war nur ein Schreibfehler.
Habe dann als Ergebnis [mm] \bruch{1}{8} [/mm] heraus.
Richtig?
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Hallo, den ersten Teil hast du geschafft, [mm] \bruch{1}{8} [/mm] ist korrekt, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Ja den ersten Teil aber ich hab das Gefühl, dass der zweite noch ein wenig schwieriger werden wird.
Würdest du mir dabei auch helfen?
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Hallo, Grundvoraussetzung ist eine Skizze der drei Funktionen [mm] f_1(x)=-x+4 [/mm] grün, [mm] f_2(x)=2x [/mm] rot und [mm] f_3(x)=\bruch{1}{3}x [/mm] blau,
[Dateianhang nicht öffentlich]
du kannst die Fläche in zwei Teilflächen zerlegen (hellblau und grün) bestimme zunächst die Schnittstelle von [mm] f_1(x) [/mm] und [mm] f_2(x), [/mm] das wir dann eine Integrationsgrenze ...
[mm] \integral_{0}^{...}{2x-\bruch{1}{3}x dx}+\integral_{...}^{3}{-x+4-\bruch{1}{3}x dx}
[/mm]
... als Integrationsgrenze ist von dir ja noch zu ermitteln
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Wieso teilst du die Fläche denn?
Und wie kommst du auf
[mm] \integral_{0}^{...}{2x-\bruch{1}{3}x dx}+\integral_{...}^{3}{-x+4-\bruch{1}{3}x dx} [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Mo 23.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Wieso teilst du die Fläche denn?
Weil du diese beiden Flächen jeweils als Differenz zweier Integrale berechnen kannst.
>
> Und wie kommst du auf
>
> [mm]\integral_{0}^{...}{2x-\bruch{1}{3}x dx}+\integral_{...}^{3}{-x+4-\bruch{1}{3}x dx}[/mm]
> ?
>
>
[mm] \overbrace{\underbrace{\integral_{0}^{...}{2x-\bruch{1}{3}x dx}}_{=\integral{f_{1}(x)dx}-\integral{f_{3}(x)dx}}}^{\text{hellblaue Fläche}}+\overbrace{\underbrace{\integral_{...}^{3}{-x+4-\bruch{1}{3}x dx}}_{\integral{f_{2}(x)dx}-\integral{f_{3}(x)dx}}}^{\text{grüne Fläche}}
[/mm]
Die einzelnen Funktionen innerhalb der Integrale kannst du jetzt vor dem Bilden der Stammfunktion noch vereinfachen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Also ich hab jetzt erstmal die Grenze ermittelt und als Ergebnis [mm] 1\bruch{1}{3} [/mm] erhalten.
Stimmt das soweit?
Ich muss also jetzt die Stammfunktionen wieder bilden und dann in den Grenzen berechnen Richtig?
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Hallo, [mm] \bruch{4}{3} [/mm] ist ok, jetzt Stammfunktion berechnen (erst zusammenfassen), dann Grenzen einsetzen Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Sind das die Stammfunktionen:
[mm] \bruch{5}{6*x^{2}} [/mm] und [mm] \bruch{11}{3}*x-\bruch{1}{2*x^{2}} [/mm]
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Hallo, leider nein,
das 1.Integral kannst du zusammenfassen zu [mm] \bruch{5}{3}x [/mm]
das 2. Integral kannst du zusammenfassen zu [mm] -\bruch{4}{3}x [/mm] +4
jetz schaue dir das Beispiel Stammfunktion zu [mm] x^{5} [/mm] noch einmal an
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Ok ich hab jetzt folgende Stammfunktionen:
[mm] \bruch{5}{6*x} [/mm] und [mm] \bruch{4}{6*x}+4*x
[/mm]
Jetzt Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Mo 23.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Leider nein.
Die Stammfunktion zu
[mm] g(x)=\blue{-\bruch{4}{3}}x^{\red{1}} [/mm]
ist
[mm] G(x)=\blue{-\bruch{4}{3}}*\bruch{1}{\red{1}+1}*x^{\red{1}+1}=...
[/mm]
Und die Stammfunktion zu [mm] h(x)=\green{4}*\red{x}^{\blue{0}}
[/mm]
ist [mm] H(x)=\green{4}*\bruch{1}{\blue{0}+1}*x^{\blue{0}+1}=...
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Ist das nicht das gleiche?
Oder muss man das getrennt integrieren?
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Hallo Achilles!
Du kannst doch immer die Probe per Differenziation machen.
Die Stammfunktion von [mm] \integral{\bruch{5}{3}*x dx}[/mm] ist [mm] \bruch{5}{6}x^2+C [/mm] wenn die Ableitungsfunktion von [mm] \bruch{5}{6}x^2+C [/mm] entspricht [mm] \bruch{5}{3}*x [/mm] .
Die Stammfunktion von [mm] \integral{-\bruch{4}{3}x dx} [/mm] ist [mm] -\bruch{2}{3}x^2+C [/mm] wenn die Ableitungsfunktion von [mm] \bruch{2}{3}x^2+C [/mm] entspricht
[mm] -\bruch{4}{3}x [/mm] .
Die Stammfunktion von [mm] \integral{4 dx} [/mm] ist 4x+C wenn die Ableitungsfunktion von 4x+C entspricht 4.
Das Integral [mm] \integral{-\bruch{4}{3}x+4 dx} [/mm] solltest du laut Summenregel aufspalten und getrennt integrieren:
[mm] \integral{-\bruch{4}{3}x dx}+\integral{ 4 dx}
[/mm]
Denn: Eine Summe von Funktionen wird integriert, indem man jedes Glied der Summe einzeln integriert.
[mm] \integral{(f_1(x)+f_2(x)) dx}=\integral{f_1(x) dx}+\integral{f_2(x) dx }
[/mm]
Gruß 
Angelika
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Di 24.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Also ich habe das jetzt mal ausgerechnet mit den Stammfunktionen und als Ergebnis habe ich [mm] 3\bruch{1}{3} [/mm] herausbekommen.
Ist das richtig?
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Hallo, korrekt, Teil 2 hast du auch geschafft, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Di 24.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Na dann bin ich ja halbwegs zufrieden.
Könntest du mir wohl auch erkären wie ich den letzten Teil der Aufgabe machen muss?
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Hallo,
bei Rotation um x-Achse gilt allgemein: [mm] V=\pi*\integral_{a}^{b}{(f(x))^{2} dx} [/mm] jetzt zerlege
1) [mm] \pi*\integral_{0}^{\bruch{4}{3}}{(2x)^{2} dx}
[/mm]
2) [mm] \pi*\integral_{\bruch{4}{3}}^{3}{(-x+4)^{2} dx}
[/mm]
3) [mm] \pi*\integral_{0}^{3}{(\bruch{1}{3}x)^{2} dx}
[/mm]
schau dir die Skizze von gestern noch einmal an, die Berechnung der drei Integrale sollte kein Problem sein, überlege dir, wie diese 3 Integrale zustandekommen, wo mußt du ein + bzw. ein - setzen,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Di 24.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Müsste das ganze dann nicht folgendermaßen berechnet werden:
[mm] [(\pi*\integral_{0}^{\bruch{4}{3}}{f(2*x)^{2} dx}+\pi*\integral_{\bruch{4}{3}}^{3}{f(-x+4)^{2} dx})]-[(\pi*\integral_{0}^{3}{(\bruch{1}{3}+x)^{2}}dx] [/mm] ?
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Hallo, zwei ganz ganz kleine Formsachen
1. und 2. Integral "f" vor der Klammer brauchst du nicht schreiben
3. Integral zwischen [mm] \bruch{1}{3} [/mm] und x steht "mal"
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:40 Di 24.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Ja jetzt seh ich es.
War nur ein Schreibfehler. Hab es eigentlich ohne f geschrieben und das + ist auch bei mir ein *.
Dann probier ich das jetzt mal.
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