integral durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Panther |
| Aufgabe | Löse:
[mm] \integral(\bruch{1}{x*\wurzel{X^2-1}}dx) [/mm] |
Normales Substituieren funktioniert nicht deswegen in diesem fall:
[mm] cosh(t)^2-sinh(t)^2=1
[/mm]
[mm] cosh(t)^2-1=sinh^2
[/mm]
x=cosh(t)
dx/dt=sinh(t) // x differenziert eben
dx=sinh(t)*dt
Gesamtgleichung leutet also:
[mm] \Int(1/(cosh(t)*\wurzel{cosh(t)^2-1})*sinh(t)*dt)
[/mm]
ist weiter gleich
[mm] \int(1/(cosh(t)*(cosh(t)-1))*sinh(t)*dt
[/mm]
sinh(t)/cosh(t)= tanh(t)
also:
[mm] \int(tanh(t)/(cosh(t)-1)*dt)
[/mm]
Stimmt das bis hier her so ungefär?
So jetzt bin ich am ende meines wissens und habe keinen plan mehr wies weiter geht.
Hab mich gerade hier angemeldet weil ich schon öfters über google hierher verbunden wurde für meine Mathematk probleme und dieses forum mir dabei sehr behilflich war.
Ich hoffe Ihr könnt mir auch helfen dieses problem zu lösen
( habe leider kein ähnliches bei euch gefunden und sonnst auch nirgends im internet oder Mathe skriptum eben.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
( Das erste mal das ich eine mathe frage überhaupt wo reinposte) 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Panther |
Juhuu. tausend dank echt.
ich sitz an dem schon so lang an dem Beispiel, und hab überall nach der lösung gesucht.
ich wär nie draufkommen dass ja:
cosh(t)-1 = sinh(t)
Wow leute ihr seit ja echt fix mit den antworten!!!!
Vielen dank nochmal
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Hallo nochmal,
> Juhuu. tausend dank echt.
>
> ich sitz an dem schon so lang und hab überall nach der
> lösung gesucht.
>
> ich wär nie draufkommen dass:
>
> cosh(t)-1 = sinh(t) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Unsinn, du hast doch selber geschrieben, dass [mm] $\cosh^2(t)-\sinh^2(t)=1$ [/mm] ist, also [mm] $\sinh^2(t)=\cosh^2(t)-1$
[/mm]
Also [mm] $\sqrt{\cosh^2(t)-1}=\sqrt{\sinh^2(t)}=\sinh(t)$
[/mm]
>
> Wow leute ihr seit ja echt fix mit den antworten!!!!
>
> Vielen dank nochmal
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi und willkommen hier!
Alternativ:
[mm] u=\wurzel{x^2-1} [/mm] und du erhältst ein (eventuell) bekanntes Integral.
Aber wenn du es mit den Hyperbelfunktionen machen musst, dann vergiss meinen Hinweis. :)
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Panther |
Geht leider nicht, weil du vergisst das X vor der Wurzel, deswegen musst du es so wie ich substituieren.
wenn du nur das unter der Wurzel substituierst kommt nichts gscheites dabei raus.
glaub mir ich hab das vorhin oft versucht so, und es geht nicht
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Hallo nochmal,
> Geht leider nicht, weil du vergisst das X vor der Wurzel,
> deswegen musst du es so wie ich substituieren.
> wenn du nur das unter der Wurzel substituierst kommt
> nichts gscheites dabei raus.
>
> glaub mir ich hab das vorhin oft versucht so, und es geht
> nicht
Da irrst du gewaltig 
Teufels Weg ist der schnellere.
Du hast mit Sicherheit bei der Berechnung von [mm] $\frac{du}{dx}$ [/mm] die innere Ableitung vergessen ...
Mit [mm] $\blue{u=\sqrt{x^2-1}}$ [/mm] ist [mm] $\frac{du}{dx}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$, [/mm] also [mm] $\red{dx=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x} \ du}$
[/mm]
Also [mm] $\int{\frac{1}{x\blue{\sqrt{x^2-1}}} \ \red{dx}}=\int{\frac{\red{\sqrt{x^2-1}}}{\red{x}\cdot{}x\cdot{}\blue{\sqrt{x^2-1}}} \ \red{du}}$
[/mm]
[mm] $=\int{\frac{1}{x^2} \ du}=\int{\frac{1}{u^2+1} \ du}$
[/mm]
denn mit der Substitution [mm] $u=\sqrt{x^2-1}$ [/mm] ist [mm] $u^2=x^2-1$, [/mm] also [mm] $x^2=u^2+1$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Argh, du warst schneller. :P
Teufel
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Hi Teufel,
ja sorry, leider kann man nicht sehen, dass parallel schon ne Mitteilung in Arbeit ist ...
Aber doppelt hält besser
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Genau. Nur, dass deine Variante schöner aussieht.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Gerade das x hilft mir!
[mm] \integral\bruch{1}{x*\wurzel{x^2-1}}dx
[/mm]
[mm] u=\wurzel{x^2-1} (x^2=u^2+1)
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=\bruch{x}{\wurzel{x^2-1}}=\bruch{x}{u}
[/mm]
[mm] \Rightarrow dx=\bruch{u}{x}du
[/mm]
[mm] \integral\bruch{1}{x*\wurzel{x^2-1}}dx=\integral\bruch{1}{x*u}*\bruch{u}{x}du=\integral\bruch{1}{x^2}du=\integral\bruch{1}{u^2+1}du=arctan(u)+C=arctan(\wurzel{x^2-1})+C
[/mm]
Teufel
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
