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integrand : Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 Fr 03.09.2004
Autor: Jen

Hallo,
Ich kann den Integrand von (1+exp(-c(x-d)))^(-1) nicht finden. Würde mich sehr freuen, wenn jemand es weiß.
Ich habe versucht es so lösen, aber war einfach verloren:

u=1+exp(-c(x-d))
du/dx= -c *exp(-c(x-d))




Viele Grüsse
Jen
Ich habe diese Frage in keinem weiteren forum gestellt.

        
Bezug
integrand : integrand
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 Fr 03.09.2004
Autor: Gnometech

Gruß!

Ich versuche mal, einen kleinen Schubs zu geben... also Du hast Dir definiert: $ u := 1 + [mm] \exp [/mm] (cx+d) $. (Ich habe die Vorzeichen der Konstanten $c$ und $d$ geändert - Minuszeichen irritieren mich immer so. Ob man $c$ oder $-c$ nimmt, ist ja letztlich auch egal).

Um aber schön substituieren zu können, brauchst Du dann noch [mm] $\frac{dx}{du}$ [/mm] und nicht [mm] $\frac{du}{dx}$. [/mm] Also mußt Du die Gleichung nach $x$ auflösen:

$u = 1 + [mm] \exp [/mm] (cx + d) [mm] \Leftrightarrow [/mm] cx + d = [mm] \ln [/mm] (u - 1) [mm] \Leftrightarrow [/mm] x = [mm] \frac{1}{c} \cdot [/mm] ( [mm] \ln [/mm] (u-1) - d ) $.

Daraus folgt:

[mm] $\frac{dx}{du} [/mm] = [mm] \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{u-1}$ [/mm] oder anders geschrieben:

$dx = [mm] \frac{du}{c(u-1)} [/mm] $.

Also ergibt sich:

[mm] $\int \frac{dx}{1 + \exp (cx + d)} [/mm] = [mm] \int \frac{du}{c \cdot u(u-1)}$ [/mm]

Vielleicht kann man damit mehr erreichen.

Ich schau bei sowas aber meist im Bronstein / Teubner nach... ;-)

Lars

Bezug
                
Bezug
integrand : integrand
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:40 Fr 03.09.2004
Autor: Brigitte

Hallo!

> Ich versuche mal, einen kleinen Schubs zu geben... also Du
> hast Dir definiert: [mm]u := 1 + \exp (cx+d) [/mm]. (Ich habe die
> Vorzeichen der Konstanten [mm]c[/mm] und [mm]d[/mm] geändert - Minuszeichen
> irritieren mich immer so. Ob man [mm]c[/mm] oder [mm]-c[/mm] nimmt, ist ja
> letztlich auch egal).
>  
> Um aber schön substituieren zu können, brauchst Du dann
> noch [mm]\frac{dx}{du}[/mm] und nicht [mm]\frac{du}{dx}[/mm]. Also mußt Du
> die Gleichung nach [mm]x[/mm] auflösen:
>  
> [mm]u = 1 + \exp (cx + d) \Leftrightarrow cx + d = \ln (u - 1) \Leftrightarrow x = \frac{1}{c} \cdot ( \ln (u-1) - d ) [/mm].
>  
>
> Daraus folgt:
>  
> [mm]\frac{dx}{du} = \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{u-1}[/mm] oder anders
> geschrieben:
>  
> [mm]dx = \frac{du}{c(u-1)} [/mm].
>  
> Also ergibt sich:
>  
> [mm]\int \frac{dx}{1 + \exp (cx + d)} = \int \frac{du}{c \cdot u(u-1)}[/mm]
>  
>
> Vielleicht kann man damit mehr erreichen.

Dann gebe ich noch einen Schubs:

Partialbruchzerlegung... Oder habe ich jetzt zu viel verraten?
  
Viele Grüße
Brigitte

Bezug
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