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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Fr 25.01.2008 | | Autor: | bore |
| Aufgabe | | [mm] \integral ((\wurzel{4-x^2})/x^2)dx [/mm] |
Mit der Substitution 2*sin(u) sollte ich diese Aufgabe lösen können.
Ich komme aber nîcht darauf. Kann mir jemand sagen, wie das geht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> [mm]\integral ((\wurzel{4-x^2})/x^2)dx[/mm]
> Mit der Substitution
> 2*sin(u) sollte ich diese Aufgabe lösen können.
>
> Ich komme aber nîcht darauf. Kann mir jemand sagen, wie das
> geht?
Hallo,
also [mm] $\integral \frac{\wurzel{4-x^2}}{x^2}dx$ [/mm] ist gesucht. Man setze [mm] $x=2*\sin(u)$, [/mm] dann ist [mm] $\frac{dx}{du}=2*\cos(u)$ [/mm] und es folgt mit dem trigonometrischen Pythagoras [mm] $\sqrt{1-\sin^2(u)}=\cos(u)$ [/mm] (was so eigentlich nicht ganz korrekt ist, weil rechterhand auch was negatives stehen kann; aber ich will das nun nicht alles haarklein zerstückeln, man könnte die folgende Rechnung auch präzisieren, damit man sie so durchführen darf):
[mm] $\integral \frac{\wurzel{4-x^2}}{x^2}dx=\integral \frac{\sqrt{4-4\sin^2(u)}}{4\sin^2(u)}*2*\cos(u)du=\integral \frac{2*\cos(u)}{4\sin^2(u)}*2*\cos(u)du=\integral \left(\frac{1}{\tan(u)}\right)^2 du=\integral cotan^2(u)du$
[/mm]
Das rechts stehende Integral kann man dann vielleicht mittels [mm] $cotan^2(u)=cotan(u)*cotan(u)$ [/mm] und einer Formelsammlung, die einem sagt, was [mm] $\integral [/mm] cotan(r)dr$ ist (was man sich eigentlich auch schnell selbst überlegen kann, aber hier das Ergebnis: [mm] $\integral cotan(x)dx=\ln(|sin(x)|)$), [/mm] unter Anwendung partieller Integration errechnen. Am Ende dann noch eine Resubstitution [mm] $u=\arcsin(\frac{x}{2})$ [/mm] durchführen.
P.S.:
Wie gesagt, genauer müßte man eigentlich mit [mm] $\sqrt{1-\sin^2(u)}=|cos(u)|$ [/mm] arbeiten. Ich hoffe allerdings, dass sich das in meiner obigen "laxen" Rechnung nicht am Ergebnis bemerkbar macht. Falls doch, dann halt die obige Rechnung mit [mm] $\sqrt{1-\sin^2(u)}=|cos(u)|$ [/mm] korrigieren (das geht ja schnell).
Gruß,
Marcel
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