integrierbar/quadratintegrierb < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $\left(a_{n}\right)_{n \in \IN}$ [/mm] eine beliebige reelle Zahlenfolge. Dann ist die Funktion
[mm] $t\mapsto \sum\limits_{j=1}^{n} \exp(i\cdot t\cdot a_{n})$ [/mm] nicht integrierbar oder quadratintegrierbar. |
Hallo,
mit der obigen behauptung trage ich mich schon eine ganze Weile rum. Man kann natürlich Induktion versuchen, allerdings will der Induktionsschritt nicht gelingen.
IA: n=1 [mm] $\int \left| \exp(i\cdot t \cdot a_{1}) \right| \; [/mm] dt [mm] =\infty$
[/mm]
IV: [mm] $\int \left| \sum\limits_{j=1}^{n} \exp(ita_{j}) \right| \; [/mm] dt$ existert nicht.
Nun könnte man natürlich mit
[mm] $\int \left|\sum\limits_{j=1}^{n+1} \exp(ita_{j})\right| \; dt\geq \int \left|\sum\limits_{j=1}^{n} \exp(ita_{j})\right| \; [/mm] dt [mm] -\int \left| \exp(i\cdot t \cdot a_{n+1}) \right| \; [/mm] dt$
argumentieren und sagen, dass dort ein quasi [mm] $\infty-\infty$ [/mm] steht.
Allerdings ist mir das ein bisschen zu dünn.
Kann mir jemand helfen, obige Aussage zu beweisen.
Viele Grüße
Blasco
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Hiho,
wenn du diese Aufgabe in Maß- und Integrationstheorie stellst, dann wäre meine erste Frage bei dieser Aufgabe: Bezüglich welchen Maßes integrierbar? Bezüglich endlichen Maßen ist diese Fkt. bspw. immer (quadrat-)integrierbar.
Der Kern der Aussage hier ist aber, denke ich, wenn sie integierbar ist, ist sie sogar quadratintegrierbar.
Vorweg: Ich vermute mal, dein Laufindex der Folge in der Summe sollte j sein und nicht n, so dass da steht $ [mm] t\mapsto \sum\limits_{j=1}^{n} \exp(i\cdot t\cdot a_{j}) [/mm] $
Mach dir nun erstmal klar, da [mm] $\sum\limits_{j=1}^{n} \exp(i\cdot t\cdot a_{j}) \ge [/mm] 0$ schonmal [mm] $\integral \sum\limits_{j=1}^{n} \exp(i\cdot t\cdot a_{j}) d\mu$ [/mm] endweder endlich (und damit [mm] $\sum\limits_{j=1}^{n} \exp(i\cdot t\cdot a_{j})$ [/mm] integrierbar) oder unendlich ist.
Gilt nun [mm] $\integral \sum\limits_{j=1}^{n} \exp(i\cdot t\cdot a_{j}) d\mu [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] soll daraus folgen, dass dann auch [mm] $\integral \left(\sum\limits_{j=1}^{n} \exp(i\cdot t\cdot a_{j})\right)^2 d\mu [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
Da kennst du doch bestimmt einige Sätze zu 
MFG,
Gono.
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Also die Frage stellt sich bezüglich des Lebesgue-Maßes.
Ich möchte zeigen, dass die Integrale
[mm] $\int \left|\sum\limits_{j=1}^{n} \exp(i\cdot t\cdot a_{j})\right| \; [/mm] dt$ und
[mm] $\int \left|\sum\limits_{j=1}^{n} \exp(i\cdot t\cdot a_{j})\right|^2 \; [/mm] dt$
nicht existieren.
Falls die Frage wiedersprüchlich gestellt war, bitte ich das zu entschuldigen.
Wie ich mir das denke, habe ich ja in meinem ersten Post geschrieben. Allerdings halte ich die Argumentation für ein bisschen dünn.
Vielen Dank für die Hilfe
Blasco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Fr 27.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ich habe jetzt zeigen können, dass die Funktion $f(t):= [mm] \sum\limits_{j=1}^{n}\exp(i \cdot [/mm] t [mm] \cdot a_{j})$ [/mm] nicht lebesgue-integrierbar ist. Dazu habe ich
[mm] $g(t):=\frac{1}{n} \sum\limits_{j=1}^{n}\exp(i \cdot [/mm] t [mm] \cdot a_{j})$ [/mm] betrachtet. Dies ist die charakteristische Funktion einer diskret gleichverteilten Zufallsvariabeln auf der Menge [mm] $\left\lbrace a_{1},\hdots,a_{n} \right\rbrace$. [/mm] Wäre $g(t)$ Lebesgue-integrierbar, so besäße die diskrete Gleichverteilung eine Lebesgue-Dichte, ein Widerspruch. Damit ist auch [mm] $f(t)=n\cdot [/mm] g(t)$ nicht lebesgue-integrierbar.
Allerdings bin ich mit der Quadratintegrierbarkeit bezüglich des Lebesgue-Maßes noch nicht weitergekommen.
Kann mir hier jemand helfen?
Viele Grüße
Blasco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mi 02.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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