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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 Mi 07.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Habt ihr schon die ![[]](/images/popup.gif) Transformationsformel gehabt? Ohne die ist es nämlich ziemlich schwierig, das Integral auszurechnen.
Gruß, Robert
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Nee, von der habe ich noch nie gehört ..
habe es versucht umzusetzen ...
[mm] \integral_{B(0,1)}^{}{(1/r) dxdy} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{infty}{f(x^{2}+y^{2}-1)*det(2x , 2y) dxdy}
[/mm]
laut meiner Rechnung wäre das dann
[mm] =\integral_{-1}^{binfty}{0 dxdy}
[/mm]
..... aber nur ein Integral für dxdy ... hier stimmt doch was nicht ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Mi 07.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Siehe hier.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Mi 07.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Lautet die Aufgabe wirklich so ?
Es ist $ [mm] \integral_{B(0,1)}^{.}{1/r dxdy}= \infty [/mm] $ !!
Edit: oben hab ich Unsinn geschrieben !
FRED
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ich habe nochmal nachgeguckt .. die Aufgabenstellung ist so richtig.
Wie bist du denn auf das Ergebnis gekommen?
Und ist mein Ansatz mit den Integralsgrenzen dann falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Mi 07.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> ich habe nochmal nachgeguckt .. die Aufgabenstellung ist so
> richtig.
> Wie bist du denn auf das Ergebnis gekommen?
Was ich oben geschrieben habe war Unfug !
> Und ist mein Ansatz mit den Integralsgrenzen dann falsch?
Mit Polarkoordinaten $x = [mm] r*cos(\phi), [/mm] y = [mm] r*sin(\phi)$ [/mm] bekommt man
$ [mm] \integral_{B(0,1)}^{.}{\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}} dxdy}= \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{1}{r}*r d \phi}) dr} [/mm] = 2 [mm] \pi$
[/mm]
FRED
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.. wie kommst du denn auf diese Umformung? ..
Musst mir nicht alles kleinschrittig erklären, aber vielleicht ein Stichwort geben unter dem ich dann das nachlesen kann? ...
Vielen Danke erstmal für deine Hilfe :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Mi 07.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Stichwort Polarkoordinaten
jedes [mm] \vektor{x \\ y} \in \IR^2 [/mm] lässt sich schreiben in der Form
$ x = [mm] r\cdot{}cos(\phi), [/mm] y = [mm] r\cdot{}sin(\phi) [/mm] $
mit $r = [mm] \wurzel{x^2+y^2}$
[/mm]
Ist Dir das bekannt ? Kennst Du die Substitutionsregel, zumindest für den Fall von Polarkoordinaten ?
FRED
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Also ich verstehe schon, dass [mm]r = \wurzel{x^2+y^2}[/mm]
wenn [mm]x = r\cdot{}cos(\phi), y = r\cdot{}sin(\phi)[/mm]
aber ich verstehe nicht, wie du auf
$ [mm] \integral_{B(0,1)}^{.}{\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}} dxdy}= \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{2 \pi}{\bruch{1}{r}\cdot{}r d \phi}) dr} [/mm] = 2 [mm] \pi [/mm] $
kommst.. also auf die 2 integrale und so ... :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 Mi 07.10.2009 | | Autor: | Chrizzel17 |
mom .. ich probiers noch einmal..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Mi 07.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs14/seite15.html
FRED
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super, danke :) Dann kann ich jetzt auf jeden Fall schonmal sehr gut nachvollziehen wie du auf das INtegral kommst .
Kannst du mir noch verraten wie du auf die Grenzen gekommen bist?
Auf der Seite steht ja lediglich, man muss ich ein "passendes" M suchen ..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Mi 07.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Da Du über B(0,1) integrierst, läuft r , also die Länge von (x,y), von 0 bis 1 und der Winkel [mm] \phi [/mm] von 0 bis 2 [mm] \pi [/mm] (360°)
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:30 Mi 07.10.2009 | | Autor: | Chrizzel17 |
ja logisch ^^
.. noch eine Frage habe ich ..
Gibt es irgendeine Regel, wann man Substitution durch Kugel,Zylinder oder Polarkoordinaten durchführt?
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nee.. klappt nicht bei mir ...
also folgendes hab ich gemacht:
Sei [mm] x=rcos(\delta) [/mm] -> [mm] dx=(-d\delta)/rsin(\delta)
[/mm]
[mm] y=rsin(\delta) [/mm] -> [mm] dy=dr/sin(\delta)
[/mm]
für das Integral erhalte ich dann
- [mm] \integral_{}^{}{1/r^{2}sin(\delta)^{2} d(\delta)dr}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Mi 07.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Die Substitutionsregel wie du sie benutzen willst gilt nur im [mm] $\IR^1$. [/mm] Für den [mm] $\IR^n$ [/mm] brauchst du die Transformationsformel (Siehe hier).
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mi 07.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Hallo nochmal.
Die Transformationsformel ist die Verallgemeinerung der Substitutionsformel auf den [mm] $\IR^n$. [/mm] Ich gehe davon aus, dass du dir den Artikel auf Wikipedia angesehen hast. Fred hat sie ohne es zu sagen in seiner Rechnung benutzt. Immer wenn du ein Integral durch Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten, Kugelkoordinaten oder was auch immer löst, benutzt du die Transformationsformel. Du hast bei deinem Versuch oben, die Transformationsformel zu benutzen jedoch ganz schön viel falsch gemacht. Ich zeig dir mal, wie man sie ganz ausführlich benutzt:
Wir wollen [mm] $\int_{B_1(0)}f(x,y)\;dx\;dy$ [/mm] berechnen für die Funktion [mm] $f:\IR^2\ni(x,y)\mapsto(x^2+y^2)^{-\frac{1}{2}}\in\IR$. [/mm] Dazu wollen wir Polarkoordinaten verwenden, d.h. wir betrachten die Abbildung [mm] $\Phi:(0,\infty)\times(0,2\pi)\ni(r,\varphi)\mapsto(r\cdot\cos\varphi,r\cdot\sin\varphi)\in\IR^2$. [/mm] Diese Abbildung ist der Diffeomorphismus, den wir für die Transformationsformel brauchen. Nun müssen wir die folgenden drei Dinge tun:
1) [mm] $f\circ\Phi$ [/mm] berechnen. Das ist einfach: [mm] $$f\circ\Phi(r,\varphi)=f(r\cdot\cos\varphi,r\cdot\sin\varphi)=\frac{1}{\sqrt{r^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}}=\frac{1}{\sqrt{r^2}}=\frac{1}{r}\qquad(\text{da }r>0)$$ [/mm] 2) Die sog. Funktionaldeterminante berechnen: [mm] $$\left|\det D\Phi(r,\varphi)\right|=\left|\det\pmat{\cos\varphi&-r\sin\varphi\\\sin\varphi&r\cos\varphi}\right|=|r|=r$$ [/mm] 3) Wir brauchen eine offene Menge U, sodass [mm] $\Phi(U)=B_1(0)$ [/mm] ist. Das ist hier leider nicht ganz möglich, aber für [mm] $U:=(0,1)\times(0,2\pi)$ [/mm] ist [mm] $\Phi(U)=B_1(0)\setminus\{(0,0)\}$ [/mm] und dieser eine fehlende Punkt spielt für das Integral keine Rolle, da es eine Nullmenge ist (abgesehen davon ist f in [mm] \Phi(0,0) [/mm] auch gar nicht definiert).
Nun werfen wir alles zusammen in die Transformationsformel und wir erhalten [mm] $$\int_{B_1(0)}f(x,y)\;dx\;dy=\int_{B_1(0)\setminus\{0\}=\Phi(U)}f(x,y)\;dx\;dy\stackrel{!}{=}\int_{U=(0,1)\times(0,2\pi)}f\circ\Phi(r,\varphi)\cdot|\det D\Phi(r,\varphi)|\;d\varphi\;dr=\int_0^1\int_0^{2\pi}\frac{1}{r}\cdot r\;d\phi\;dr=2\pi$$ [/mm] Das ist der ausführliche Rechenweg.
Gruß, Robert
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