inv. unterraum und darst. matr < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Sa 26.05.2007 | | Autor: | AriR |
hey leute..
in la haben wir mal folgenden satz bewiesen:
Sei [mm] f\in End_K(V), [/mm] sei [mm] U\subset [/mm] V, f invarianter Unterraum,
dann ist [mm] M_B(f)=\pmat{ {M_B_1(f|_U)} & * \\ 0 & M_B_2(\overline{f})}
[/mm]
mit [mm] B=B_1\cup(w_1,...,w_l)
[/mm]
eigentlich ist das auch wohl ziemlich klar, was ich nur nicht ganze verstehe ist, ob es einem irgendwie dadurch leichter fallen sollte auf die darst. Matrix [mm] M_B(f) [/mm] zu kommen?
ich weiß zB , dass ich für die ersten k Spalen der Matrix mich nur auf die [mm] v_i [/mm] konzentrieren brauch und die [mm] w_i [/mm] komplett außen vor lassen kann und ich weiß auch genau das unten links nur 0en stehen, aber wesentlich schneller wird die rechnung davon nicht und für den rechten teil der matrix muss ich doch trotzdem die darst matrix genau so "umständlich" berechnen wie sonst auch immer oder?
und [mm] B_1=(v_1,...,v_k) [/mm] Basis von U , [mm] (w_1,...,w_l) [/mm] die Basiserzänzung von [mm] B_1 [/mm] zu V und [mm] B_2=(w_1+U,...,w_l+U)
[/mm]
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> hey leute..
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> in la haben wir mal folgenden satz bewiesen:
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> Sei [mm]f\in End_K(V),[/mm] sei [mm]U\subset[/mm] V, f invarianter
> Unterraum,
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> dann ist [mm]M_B(f)=\pmat{ {M_B_1(f|_U)} & * \\ 0 & M_B_2(\overline{f})}[/mm]
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> mit [mm]B=B_1\cup(w_1,...,w_l)[/mm]
>
> eigentlich ist das auch wohl ziemlich klar, was ich nur
> nicht ganze verstehe ist, ob es einem irgendwie dadurch
> leichter fallen sollte auf die darst. Matrix [mm]M_B(f)[/mm] zu
> kommen?
>
Hallo,
sicher fällt es einem so nicht einfacher, auf die darstellende Matrix zu kommen.
Aber diese Matrix ist zum Rechnen doch schon bequemer, beim Multiplizieren ersparen einem ein Blöcke mit Nullen einiges an Mühe, weil man viel kleinere Matrizen zu multiplizieren hat:
[mm] \pmat{ {M_B_1(f|_U)} & 0 \\ 0 & M_B_2(\overline{f})}\pmat{ A& B \\C & D}=\pmat{ {M_B_1(f|_U)}A& 0 \\0 & M_B_2(\overline{f})D}
[/mm]
Und man erkennt mit einen Blick auf die Matrix, wie die Abbildung "gemacht" ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Sa 26.05.2007 | | Autor: | AriR |
ich glaube ich hab mich etwas falsch ausgedrückt.
ihc meinte nicht, dass das rechnen mit der neuen darstellenden matrix einfacher ist,
sonder das es nicht einfacher ist, die darst matrix überhaupt erst zu berechnen mit der information wie die blöcke aussehen als wie wenn man einfach nur die basis gegeben hat.
weißt du jetzt ca wie ich es meine?
also ob man nur die basis gegeben hat und die darst matrix dann berechnet oder die basis und diese information wie die blöcke aussehen, die rechnung ist die selbe oder nicht?
"die spalten der matrix sind die koordinaten der bilder der basisvektoren"
man geht doch immer noch genau so vor oder nicht?
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Ich verstehe deine Beunruhigung nicht ganz. Um die Matrix mithilfe invarianter Unterraeume darzustellen nimmst du eben die Basisvektoren und schreibst in die Spalten die Bilder bezueglich eben jener Basisvektoren. That's it. Der Aufwand ist denke ich immer derselbe, denn in einer anderen Basis muss die Matrix gar nicht diese schoene Form haben, waehrend andererseits du ersteinmal die Bilder in der einen und entscheidenden Basis ausdruecken musst. Bei Matrizen mit kleinem Rang ist das nicht so gravierend und auch wenn der Unterraum kleine Dimension hat sollte es nicht so gravierend sein. Bei [mm] $100.000\times [/mm] 100.000$ Matrizen kann sich allerdings die Muehe wieder lohnen mit einer duennbesetzten Matrix zu arbeiten.
LG kornfeld
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