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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Mi 01.06.2011 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | | Sei [mm] A=\pmat{ 0 & 0& ... & 0 & 2 \\1 & 0& ... & 0 & 0\\0 & 1& ... & 0 & 0\\...\\0& 0& ... & 1 & 0 } [/mm] gegeben. Zeige: [mm] f_A :\IQ^n \rightarrow \IQ^n, x\mapsto [/mm] Ax hat nur die trivialen invarianten Unterräume {0} und [mm] \IQ^n. [/mm] Zeige dazu, dass das Polynom [mm] t^n-2\in \IQ[/mm] [t] für [mm] n\ge [/mm] 2 keinen Teiler [mm] g\in \IQ[/mm] [t] mit [mm] 1\le [/mm] deg g [mm] \le [/mm] n-1 besitzt. |
Hallo,
das charakteristische Polynom ist [mm] t^n+2*(-1)^{n+1}. [/mm]
Für einen f-invarianten Unterraum U gilt: Charakteristisches Polynom von f beschränkt auf U ist ein Teiler vom charakteristischen Polynom von f. Hat das charakteristische Polynom von f also keinen Teiler mit [mm] 1\le [/mm] deg g [mm] \le [/mm] n-1, so folgt direkt, dass es nur die beiden trivialen Unterräume gibt.
Also muss ich eigentlich nur zeigen, dass [mm] t^n+2*(-1)^{n+1} [/mm] keinen Teiler hat. Für n gerade, ist das charakteristische Polynom [mm] t^n-2 [/mm] und es gibt keine Nullstellen, da [mm] \wurzel[n]{2} [/mm] nicht in [mm] \IQ [/mm] liegt. Die Nullstellen des Minimalpolynoms sind nach Vorlesung die Eigenwerte von f, also müssten die Nullstellen des charakteristischen Polynoms auch Eigenwerte von f sein.
Meine Vorgehensweise kommt mir nicht so mathematisch vor. Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
Katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Mi 01.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Katrin,
> Sei [mm]A=\pmat{ 0 & 0& ... & 0 & 2 \\1 & 0& ... & 0 & 0\\0 & 1& ... & 0 & 0\\...\\0& 0& ... & 1 & 0 }[/mm] gegeben. Zeige: [mm]f_A :\IQ^n \rightarrow \IQ^n[/mm], [mm]x\mapsto Ax [/mm]
> hat nur die trivialen invarianten Unterräume [mm] $\{0\}$ [/mm] und [mm]\IQ^n.[/mm]
> Zeige dazu, dass das Polynom [mm]t^n-2\in \IQ[t][/mm] für [mm]n\ge2[/mm] keinen Teiler [mm]g\in \IQ [t][/mm] mit [mm]1\le\deg g \le n-1[/mm] besitzt.
>
> Hallo,
> das charakteristische Polynom ist [mm]t^n+2*(-1)^{n+1}.[/mm]
Fast, es ist [mm] $(-t)^n+2*(-1)^{n+1}=(-1)^n(t^n-2)$ [/mm] .
> Für einen f-invarianten Unterraum U gilt: Charakteristisches Polynom von f beschränkt auf U ist ein Teiler vom charakteristischen Polynom von f. Hat das charakteristische Polynom von f also keinen Teiler mit [mm]1\le \deg g\le n-1[/mm], so folgt direkt, dass es nur die beiden trivialen Unterräume gibt.
Richtig.
> Also muss ich eigentlich nur zeigen, dass [mm]t^n+2*(-1)^{n+1}[/mm] keinen Teiler hat.
Wie schon gesagt, du musst es für $ [mm] t^n-2$ [/mm] zeigen.
> Für n gerade, ist das charakteristische Polynom [mm]t^n-2[/mm] und es gibt keine Nullstellen, da [mm]\wurzel[n]{2}[/mm] nicht in [mm]\IQ[/mm] liegt.
Ja das Argument funktioniert zum Teil: damit gibt es auch keinen Teiler [mm]g\in \IQ [t][/mm] mit [mm]\deg g=1[/mm] (oder äquivalent dazu, mit [mm]\deg g=n-1[/mm]) . Womit die Behauptung für $n=2$ und $n=3$ schon bewiesen wäre.
Allgemein kannst du die Irreduzibilität von [mm] $t^n-2$ [/mm] z.B. mit dem Kriterium von Eisenstein zeigen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mi 01.06.2011 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Das Kriterium von Eisenstein hatten wir leider noch nicht, sodass ich davon ausgehe, dass ich es nicht verwenden darf. Alternativ habe ich mir überlegt, dass das Polynom in [mm] \IC [/mm] n Nullstellen hat: [mm] \wurzel[n]{2}*e^{i*2\pi*k/n} [/mm] für [mm] k\in [/mm] 0, ..., n-1. Ist [mm] 2\pi*k/n [/mm] ein Vielfaches von [mm] \pi, [/mm] so ist die Nullstelle irrational, sonst ist sie komplex. Damit gibt es in [mm] \IQ [/mm] keine Nullstellen. Kann man das so begründen?
Katrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 Do 02.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Katrin!
> Das Kriterium von Eisenstein hatten wir leider noch nicht,
> sodass ich davon ausgehe, dass ich es nicht verwenden darf.
> Alternativ habe ich mir überlegt, dass das Polynom in [mm]\IC[/mm]
> n Nullstellen hat: [mm]\wurzel[n]{2}*e^{i*2\pi*k/n}[/mm] für [mm]k\in 0, ..., n-1[/mm].
> Ist [mm]2\pi*k/n[/mm] ein Vielfaches von [mm]\pi,[/mm] so ist
> die Nullstelle irrational, sonst ist sie komplex. Damit
> gibt es in [mm]\IQ[/mm] keine Nullstellen. Kann man das so
> begründen?
Das ist eine gute Begründung.
An das Kriterium von Eisenstein dachte ich, weil es ohne die Zerlegung des Polynoms in [mm] $\IC[x]$ [/mm] auskommt.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:04 Do 02.06.2011 | | Autor: | katrin10 |
Danke!
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