invariante unterräume < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Lunar |
| Aufgabe | Finde und beschreibe alle invarianten Unterräume des Endomorphismus [mm] \mu [/mm] von [mm] \IR^2 [/mm] bzw. [mm] \IR^3, [/mm] der durch die Linksmultiplikation mit folgender Matrix beschrieben wird:
[mm] a)\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] b)\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3} [/mm] |
Hallo!
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter, ich hoffe, jemand findet Zeit, mir zu helfen.
zu a) habe ich folgendes: Jeder solche UR hat ja dimension 0, 1, oder 2.
zu Dim(0): nur der nullraum
Zu Dim(2) nur ganz [mm] \IR^2
[/mm]
und bei DIM(1) hänge ich. wie kann ich herausfinden, wieviele Unterräume DIM(1) hat?
Dasselbe Problem habe ich bei b)
DIM(0) ist der nullraum
DIM(3) ist [mm] \IR^3. [/mm] und hier komme ich nicht mehr weiter für DIM 1 und 2
vielen dank im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Mi 07.03.2012 | | Autor: | hippias |
Ich wuerde mit dem charakteristischem bzw. dem Minimalpolymon des Endomorphismus argumentieren. Die eindimensionalen Unterraeume sind uebrigens die Vielfachen von Vektoren [mm] $\neq [/mm] 0$.
zu a) Sei [mm] $\phi$ [/mm] der zur Matrix gehoerige Endomorphismus. Sein charakteristisches und Minimal-Polynom ist [mm] $(t-1)^{2}$ [/mm] und $U:= Kern [mm] (\phi-1)$ [/mm] ist ein eindimensionaler [mm] $\phi$-invarianter [/mm] Unterraum. Ist nun $W$ ein weiterer eindimensionaler [mm] $\phi$-invarianter [/mm] Unterraum, so bezeichne [mm] $\psi$ [/mm] die Einschraenkung von [mm] $\phi$ [/mm] auf $W$. Wegen [mm] $(\phi-1)^{2}= [/mm] 0$ gilt erst recht [mm] $(\psi-1)^{2}= [/mm] 0$.
Welchen Eigenwert hat [mm] $\psi$ [/mm] also? Schlussfolgere daraus, dass $U= W$ sein muss.
zu b) Argumentiere hier aehnlich wie bei a). Vielleicht ist es eine nuetzliche Leitlinie zu beachten, dass ein diagonalisierbarer Endomorphismus eingeschraenkt auf einen invarianten Unterraum wieder diagonalisierbar ist.
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