inveriterbarkeit von Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:18 Di 29.08.2006 | | Autor: | AnnaK |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: det (B) [mm] \not= [/mm] 0 <=> B ist invertierbar (B ist eine (n x n)-Matrix) |
Hallo!
Vielleicht kann mir jemand bei dem obigen Beweis etwas helfen. Bislang habe ich mir überlegt, dass aus der Definition der Determinantenfunktion folgt, dass rg B=n sein muss, wenn die Determinante nicht verschwindet. Aber warum genau sind foller Rang und Invertierbarkeit äquivalent?
Vielen Dank schon mal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo und guten Morgen,
wenn Du also zeigen möchtest, dass [mm] rg(A)=n\:\Leftrightarrow\: A\:\: [/mm] invertierbar,
so zeig, dass voller Rang heisst, dass Basen auf Basen abgebildet werden. Und
dann nimm die Standardbasis, deren Bildvektoren sind die Spalten von A und eine Basis, und die Umkehrabbildung
muss also diese auf die Standardbasis zurück-abbilden - und ist durch diese Eigenschaft schon eindeutig definiert.
Gruss + viel Erfolg
Mathias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Do 31.08.2006 | | Autor: | AnnaK |
Hallo!
Erstmal vielen Dank für die Hilfestellung!
Ich habe mir auf deinen Tip hin folgende Vorgehensweise überlegt, allerdings bin ich mir nicht ganz sicher, ob das der Weg ist, den du meintest bzw. ob meiner korrekt ist.
Also, ich hatte ja schon gesagt, dass aus der Definition der Determinante folgt, dass rgB=n ist.
Aus Def. des Ranges weiß man: rg B=dim (Bild B)=n
Da eine Matrix eine lineare Abbildung beschreibt, möchte ich jetzt mit der zu B gehörenden Abbildung f weitermachen
mit Hilfe des Satzes dim V=dim Kern f + dim Bild f
und wegen dim Bild f = dim V folgt dim Kern B = 0
Aus dim Kern f = 0 folgt, dass f injektiv ist.
Aus f injektiv kann man f ist surjektiv, also bijektiv folgern.
Und eine lineare, bijektive Abbildung ist ein Isomorphismus, ist also invertierbar.
Also ist auch B invertierbar.
Ist das so in Ordnung? Die einzelnen Folgerungen könnte ich noch beweisen.
Ich wäre für eine Rückmeldung sehr dankbar!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 Do 31.08.2006 | | Autor: | laryllan |
Aloa AnnaK,
So beim Drüberfliegen finde ich einige Ideen sehr nett. Meine Überlegung hierzu wärer:
- Wieso kannst du aus einer offensichtlich hergeleiteten Injektivität eine Surjektivität folgern? Nach meinen bisherigen Erfahrungen geht das nicht zwangsläufig miteinander einher. Die Surjektivität stekt sicherlich irgendwo drin, aber aus der Injektivität kann man es im allgemeinen nichtt folgern (da würde wohl eher ein Dimensions-Argument greifen, oder?)
Namárie,
sagt ein Lary, wo nun ins Bett huscht
|
|
|
|
