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Ich verstehe Vektoriteration-Verfahren und kann Schritte (Iterationen) davon durchfuehren. Aber mit inverser Vektoriteration klappts nicht. Kann mir jemand eine Iteration berechnen, so dass ich meine Fehler finden koennte (vielleicht verstehe ich den Algorithmus nicht richtig).
Hier ist meine Aufgabe:
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 }
[/mm]
Berechnen Sie mit 2 Iterationen (*Ich wie schon gesagt brauche nur eine Iteration, um zu verstaehen*) der inversen Vektoriteration und dem Startvektor [mm] x^{(0)}=(1,0)^{tr} [/mm] eine Naeherung fuer den Eigenwert von A, der am naechsten bei [mm] \lambda=4 [/mm] liegt, sowie eine Naeherung fuer den entsprechenden Eigenvektor.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Do 20.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi, zufällig habe ich mich heute damit beschäftigt, mal sehen, ob ich dir helfen kann:
also: Der große Nachteil der direkten Vektoriteration ist ja, dass nur ein Eigenvektor zum betragsmäßig größten Eigenwert gefunden wird. Um das zu vermeiden und Eigenvektoren zu beliebigen Eigenwerten zu bestimmen, verwendet man die inverse Vektoriteration.
angenommen du hättest eine Näherung $ [mm] \overline{\lambda_i } \approx\lambda_i [/mm] $ für ein bestimmtes i - sie ist aber nicht perfekt, das heißt die Differenz ist noch nicht 0 !
sei [mm] v_i [/mm] ein entsprechender EigenVektor zu $ [mm] \lambda_i [/mm] $, dann:
$ [mm] (A-\overline{\lambda_i }*E)*v_i [/mm] = [mm] (\lambda_i -\overline{\lambda_i })*v_i [/mm] $
$ [mm] \gdw 1/(\lambda_i -\overline{\lambda_i })*v_i [/mm] = [mm] (A-\overline{\lambda_i }*E)^{-1}*v_i [/mm] $
das heißt $ [mm] 1/(\lambda_i -\overline{\lambda_i }) [/mm] $ ist jetzt dein größter Eigenwert von $ [mm] (A-\overline{\lambda_i }*E)^{-1} [/mm] $. Hierauf kannst du also die einfache Vektoriteration anwenden !
also bei deinem Spezialfall : $ [mm] (A-\overline{\lambda_i }*E)^{-1}=\pmat{ -3 & 2 \\ 2 & -3 }^{-1}=-1/5*\pmat{ 3 & 2 \\ 2 & 3 } [/mm] $
da fängst du jetzt mit deinem Startwert an...
hoffe, ich habe es selbst richtig verstanden...
viele Grüße
DaMenge
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