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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Mi 10.12.2008 | | Autor: | uecki |
Hallo,
ich habe hier eine Funktion f: [mm] Z_{2}^4 [/mm] --> [mm] Z_{2}^4 [/mm] für die gilt f: [mm] (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T} [/mm] --> [mm] (x_{2},x_{1},x_{4},x_{3})^{T}
[/mm]
die zugehörige inverse Funktion [mm] f^{-1}: Z_{2}^4 [/mm] --> [mm] Z_{2}^4 [/mm] lautet [mm] f^{-1}: (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T} [/mm] --> [mm] (x_{2},x_{1},x_{4},x_{3})^{T}.
[/mm]
Warum gilt hier [mm] f=f^{-1} [/mm] ? Verstehe das nicht so richtig...
lg
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Nun, schau mal hin: was tut denn die Funktion?
Sie vertauscht [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2, [/mm] und auch [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4.
[/mm]
Um das umzukehren, muss man beide zurücktauschen (Rückwärtsoperation), was identisch ist mit nochmaligem Vertauschen (Vorwärtsoperation), also nochmaliger Anwendung der Funktion.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mi 10.12.2008 | | Autor: | uecki |
Das verstehe ich ehrlich gesagt nicht richtig...?
Ich dachte immer, wenn ich eine funktion f: A --> B habe ist die umkehrung, also die Inverse f: B --> A. Aber das passt doch hier nicht, oder?
lg
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Na, das passt sogar ganz hervorragend.
Stell's Dir an einem anderen Typ von Funktionen vor:
1) f(x)=-x; was ist die Umkehrfunktion?
2) [mm] f(x)=\bruch{1}{x}; [/mm] was ist die Umkehrfunktion?
Es ist ein Sonderfall, wenn Funktion und Umkehrfunktion gleich sind. Er widerspricht aber dadurch nicht der allgemeinen Definition.
Letztes Beispiel:
Sei [mm] M=\{\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }\}
[/mm]
Betrachtet werden nun folgende Funktionen:
[mm] f_1: [/mm] Element [mm] a\in \M [/mm] wird abgebildet auf [mm] \a{}M [/mm] \ {a}
[mm] f_2: [/mm] Matrix wird abgebildet auf Matrix mit binär invertierten Matrixelementen
[mm] f_3: [/mm] Matrix A wird abgebildet auf Matrix B mit [mm] b_{ij}=1-a_{ij}^{\ n}, n\in\IN
[/mm]
[mm] f_4: [/mm] Matrix wird spaltenweise linksrotiert
[mm] f_5: [/mm] Matrix wird spaltenweise rechtsrotiert
[mm] f_6: [/mm] Matrix wird zeilenweise abwärtsrotiert
[mm] f_7: [/mm] Matrix wird zeilenweise aufwärtsrotiert
[mm] f_8: [/mm] Matrix A wird abgebildet auf [mm] A^{-1}*\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
[mm] f_9: [/mm] Matrix A wird abgebildet auf [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }*A^{-1}
[/mm]
[mm] f_{10}: [/mm] Matrix A wird 2n-1 Mal linksherum nach B gedreht [mm] (b_{11}=a_{12}, b_{12}=a_{22}, b_{21}=a_{11}, b_{22}=a_{21})
[/mm]
[mm] f_{11}: [/mm] Matrix A wird 2n-1 Mal rechtsherum nach B gedreht [mm] (b_{11}=a_{21}, b_{12}=a_{11}, b_{21}=a_{22}, b_{22}=a_{12})
[/mm]
[mm] f_{12}: [/mm] Matrix wird an der senkrechten Mittelachse gespiegelt
[mm] f_{13}: [/mm] Matrix wird an der waagerechten Mittelachse gespiegelt
[mm] f_{14}: [/mm] Matrix A wird abgebildet auf [mm] A^{2n-1}
[/mm]
...
Die Funktionen haben nun eins gemeinsam, nämlich ihre Wertetabelle:
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } \mapsto \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } \mapsto \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
- was im übrigen auch schon eine Funktionsvorschrift ist.
Jede der Funktionen ist eine Umkehrfunktion aller genannten Funktionen, einschließlich sich selbst.
Überträgst Du die Definitionen allerdings auf [mm] 3\times3-Matrizen, [/mm] ist das Ergebnis ein völlig anderes.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Fr 12.12.2008 | | Autor: | uecki |
Ok...wird besser mit meinem Verständnis 
Aber ich will sicher sein.
Also, meine Funktion befindet sich ja in einer Menge sozusagen, wegen f: [mm] Z_{2}^{4} [/mm] --> [mm] Z_{2}^{4}. [/mm] Ist das nicht auch schon ein Grund warum [mm] f^{-1}= [/mm] f ist ?
Und meine Funktion ist ja [mm] (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) [/mm] die abgebildet wird in [mm] (x_{2},x_{1},x_{4},x_{3}). [/mm] Warum ist die Inverse von [mm] (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) [/mm] denn einfach [mm] (x_{2},x_{1},x_{4},x_{3})? [/mm] Schreib ich die Elemente [mm] (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) [/mm] als Matrix auf und invertiere die bekomme ich eine andere Lösung....??? Also mein Problem besteht darin, dass ich einfach nicht verstehe warum [mm] (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) ^{-1}=(x_{2},x_{1},x_{4},x_{3}) [/mm] ist...?????
lg und vielen vielen dank
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> Ok...wird besser mit meinem Verständnis
> Aber ich will sicher sein.
> Also, meine Funktion befindet sich ja in einer Menge
> sozusagen, wegen f: [mm]Z_{2}^{4}[/mm] --> [mm]Z_{2}^{4}.[/mm] Ist das nicht
> auch schon ein Grund warum [mm]f^{-1}=[/mm] f ist ? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Und meine Funktion ist ja [mm](x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})[/mm] die
> abgebildet wird in [mm](x_{2},x_{1},x_{4},x_{3}).[/mm] Warum ist die
> Inverse von [mm](x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})[/mm] denn einfach
> [mm](x_{2},x_{1},x_{4},x_{3})?[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") ist sie ja auch nicht...
> Schreib ich die Elemente
> [mm](x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})[/mm] als Matrix auf und invertiere die
> bekomme ich eine andere Lösung....??? Also mein Problem
> besteht darin, dass ich einfach nicht verstehe warum
> [mm](x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) ^{-1}=(x_{2},x_{1},x_{4},x_{3})[/mm]
> ist...?????
Ist auch falsch, s.o.
So:
[mm] \blue{(x_{2},x_{1},x_{4},x_{3}) ^{-1}=(x_{2},x_{1},x_{4},x_{3})}
[/mm]
> lg und vielen vielen dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Sa 13.12.2008 | | Autor: | uecki |
Ok...wohl doch noch nicht so angekommen...
Was wäre denn, wenn meine Funktion folgendermaßen aussehen würde:
f: [mm] Z_{2}^{4} [/mm] --> [mm] Z_{2}^{4}, [/mm] f: [mm] (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T} [/mm] --> [mm] (x_{3},x_{4},x_{1},x_{2})^{T}
[/mm]
Wie würde denn dann [mm] f^{-1} [/mm] aussehen?
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> Ok...wohl doch noch nicht so angekommen...
> Was wäre denn, wenn meine Funktion folgendermaßen aussehen
> würde:
> f: [mm]Z_{2}^{4}[/mm] --> [mm]Z_{2}^{4},[/mm] f:
> [mm](x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}[/mm] -->
> [mm](x_{3},x_{4},x_{1},x_{2})^{T}[/mm]
> Wie würde denn dann [mm]f^{-1}[/mm] aussehen?
Hakllo,
Du hast hier zwei Möglichkeiten zur Umkehrunktion zu kommen, ich kann dieser Diskussion leider nicht entnehmene, was Du schon kannst.
1. Möglichkeit:
Du stellst zu
[mm] f(\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4})=\vektor{x_3\\x_4\\x_1\\x_2}
[/mm]
die darstellende Matrix auf, invertierst, und hast damit die darstellende Matrix von [mm] f^{-1}.
[/mm]
2. Möglichkeit:
Du überlegst Dir, welcher Vektor [mm] v_1 [/mm] durch f auf [mm] \vektor{1\\0\\0\\0} [/mm] abgebildet wird,
welcher Vektor [mm] v_2 [/mm] durch f auf [mm] \vektor{0\\1\\0\\0} [/mm] abgebildet wird,
welcher Vektor [mm] v_3 [/mm] durch f auf [mm] \vektor{0\\0\\1\\0} [/mm] abgebildet wird,
welcher Vektor [mm] v_4 [/mm] durch f auf [mm] \vektor{0\\0\\0\\1} [/mm] abgebildet wird,
Die durch
[mm] g\vektor{1\\0\\0\\0}:=v_1
[/mm]
[mm] g\vektor{0\\1\\0\\0}:=v_2
[/mm]
[mm] g\vektor{0\\0\\1\\0}:=v_3
[/mm]
[mm] g\vektor{0\\0\\0\\1}:=v_4
[/mm]
definierte Abbildung [mm] (:\IR^4\to \IR^4) [/mm] iat dann die Umkehrabbildung von f.
(Du kannst sie auch als
[mm] g(\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4})=\summe x_iv_i [/mm] schreiben.)
Gruß v. Angela
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