invertierbare Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei A [mm] \in [/mm] Mat( n x n , [mm] \IQ [/mm] ) eine n x n-Matrix mit Koeffizienten in [mm] \IQ. [/mm] Da [mm] \IQ \subset \IC [/mm] können wir A auch als eine n x n-Matrix mit Koeffizienten in [mm] \IC [/mm] betrachten. Zeigen Sie:
A [mm] \in GL(n,\IQ) \gdw [/mm] A [mm] \in GL(n,\IC) [/mm] |
Hallo!
Die Hinrichtung [mm] (\Rightarrow) [/mm] ist ja noch logisch: Da [mm] \IQ \subset \IC [/mm] gilt für alle Elemente aus [mm] \IQ [/mm] die gleichen Eigenschaften wie aus [mm] \IC. [/mm] daraus folgt:
A [mm] \in GL(n,\IQ) \Rightarrow [/mm] A [mm] \in GL(n,\IC)
[/mm]
oder?
Aber bei der Rückrichtung [mm] (\Leftarrow) [/mm] habe ich meine Probleme: wie kann man etwas aus einem größeren Bereich in einen kleineren Bereich folgern? Also hier aus dem bereich der komplexen Zahlen in den der rationalen Zahlen?
Ich wäre dankbar für Hilfe!
Grüßle
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 Mo 20.12.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Es sei A [mm]\in[/mm] Mat( n x n , [mm]\IQ[/mm] ) eine n x n-Matrix mit
> Koeffizienten in [mm]\IQ.[/mm] Da [mm]\IQ \subset \IC[/mm] können wir A auch
> als eine n x n-Matrix mit Koeffizienten in [mm]\IC[/mm] betrachten.
> Zeigen Sie:
> A [mm]\in GL(n,\IQ) \gdw[/mm] A [mm]\in GL(n,\IC)[/mm]
> Die Hinrichtung [mm](\Rightarrow)[/mm] ist ja noch logisch: Da [mm]\IQ \subset \IC[/mm]
> gilt für alle Elemente aus [mm]\IQ[/mm] die gleichen Eigenschaften
> wie aus [mm]\IC.[/mm] daraus folgt:
> A [mm]\in GL(n,\IQ) \Rightarrow[/mm] A [mm]\in GL(n,\IC)[/mm]
> oder?
>
> Aber bei der Rückrichtung [mm](\Leftarrow)[/mm] habe ich meine
> Probleme: wie kann man etwas aus einem größeren Bereich
> in einen kleineren Bereich folgern? Also hier aus dem
> bereich der komplexen Zahlen in den der rationalen Zahlen?
Wie berechnest du denn [mm] A^{-1}? [/mm] Die Eintrage von [mm] A^{-1} [/mm] hängen ja irgendwie mit denen von A zusammen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
ich verstehs immer noch nicht...
ist jetzt meine Hinrichtung richtig?
und bei der rückrichtung? ich verstehe nicht, was du damit meinst! es sind doch nur komplexe zahlen gemeint, deren imaginärer teil 0 ist, oder? aber darf man überhaupt eine einschränkung vornehmen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Di 21.12.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich verstehs immer noch nicht...
> ist jetzt meine Hinrichtung richtig?
> und bei der rückrichtung? ich verstehe nicht, was du
> damit meinst! es sind doch nur komplexe zahlen gemeint,
> deren imaginärer teil 0 ist, oder? aber darf man
> überhaupt eine einschränkung vornehmen?
Ich glaube du hast übersehen, dass on Anfang an vorausgesetzt ist, dass alle Matrixelemente von A rationale Zahlen sind. Also musst du zeigen:
Wenn [mm] $A\in\mathop{\mathrm{Mat}}(n\times n,\IQ)$ [/mm] und [mm] $A\in\mathop{\mathrm{GL}}(n\times n,\IC)$, [/mm] dann ist [mm] $A\in\mathop{\mathrm{GL}}(n\times n,\IQ)$.
[/mm]
Ohne diese zusätzliche Voraussetzung wäre die Aussage
[mm] A\in\mathop{\mathrm{GL}}(n\times n,\IQ)\gdw A\in\mathop{\mathrm{GL}}(n\times n,\IC)[/mm]
tatsächlich falsch.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
kann ich dann einfach sagen, dass da A nur aus den rationalen zahlen sein darf und invertierbar sein soll, aus der gruppe der invertierbaren matrizen aus den rationalen Zahlen sein muss?
und nochmal (ganz nervig) die frage: ist die hinrichtung richtig?
Grüßle
|
|
|
| |
|
Hi,
ich misch mich mal auch ein. Also zur Hinrichtung würde ich sagen, dass es reicht. Das ist die triviale Richtung.
Du kannst jetzt für die Rückrichtung sagen. [mm]A=(a_{ij})\in\textrm{ Mat }(n\times n ,\IQ )[/mm] und [mm]A\in \textrm{GL}(n,\IC)[/mm]. Das heißt es gibt eine Matrix [mm]A^{-1}=(\tilde{a_{ij}})\in \textrm{ GL }(n, \IC)[/mm] mit [mm]A \cdot A^{-1}=E=\textrm{Einheitsmatrix} \in \textrm{ Mat }(n\times n ,\IQ )[/mm]. Also ist[mm]e_{lm}=\sum_{k=1}^{n}a_{lk}\tilde{a_{km}}=\begin{cases} 0, & \textrm{fuer } l\neq m \\
1, & \textrm{fuer } l=m \end{cases}[/mm]
Jetzt soll gezeigt werden, dass nicht nur [mm]\tilde{a_{ij}}\in \IC[/mm] sondern auch [mm]\tilde{a_{ij}}\in\IQ[/mm] gilt.
Von hier aus kannst du ja selber probieren. Nimm an, dass [mm] $\tilde{a_{ij}}\in \IC$ [/mm] und teile die Zahl in Imaginär und Realteil auf. Probier mal selber.
nächste Schritte.
Nun kannst du ja [mm]a_{kl}=x_{kl}+iy_{kl}[/mm] setzen:
[mm]e_{lm}=\sum_{k=1}^{n}a_{lk}(x_{km}+iy_{km})=\sum_{k=1}^{n}a_{lk}x_{km}+i\sum_{k=1}^{n}a_{lk}y_{km}=\begin{cases} 0, & \textrm{fuer } l\neq m \\
1, & \textrm{fuer } l=m \end{cases}[/mm]
Also bleibt zu zeigen, dass [mm]y_{km}=0\forall k,m\in\{1,\ldots,n\}[/mm].
Jetzt schaust du dir die 2.Summe noch einmal genauer an. Wichtig!!! : [mm] $x_{ij},y_{ij}\in \IR$ [/mm] !!! Und dann sollte dir etwas auffallen.
Vielleicht Sieht man es auch so besser:
[mm] $AA^{-1}=A(X+iY)=AX+iAY=E$
[/mm]
Was muss für Y gelten und warum?
Bis jetzt hättest du gezeigt [mm] $\tilde{a_{ij}}\in \IR$.
[/mm]
Und jetzt greift das Argument von statler mit der Bildungsvorschrift von [mm] $A^{-1}$. [/mm]
|
|
|
| |
|
mir ist gerade ein Licht nach dem anderen aufgegangen!
Aber bei einem Punkt hänge ich immernoch fest:
mir ist schon klar, dass Y bzw [mm] y_{ij} [/mm] gleich 0 sein muss damit der imaginäre Teil null ist. Aber warum IST es null?
wenn das alles gezeigt ist, dann muss man ja nur noch sagen, dass
[mm] A^{-1}= [/mm] M * A mit M= Produkt aus Elementarmatrizen
Und da A auch ein Produkt von Elementarmatrizen ist und aus [mm] \IQ [/mm] ist, ist M auch aus [mm] \IQ [/mm] und damit dann auch [mm] A^{-1}
[/mm]
oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Mi 22.12.2010 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
Ich komme noch mal auf meinen Ansatz zurück. Wie du eine inverse Matrix berechnest, steht z. B. ![[]](/images/popup.gif) hier, wobei ich hoffen würde, daß du es auch so weißt. Was du zeigen willst, ist, daß für eine Matrix mit Einträgen aus [mm] \IQ, [/mm] die in [mm] \IC [/mm] invertierbar ist, die Inverse auch nur Einträge aus [mm] \IQ [/mm] hat. Aber wenn du die Inverse berechnest, teilst du eine Matrix, die Einträge aus [mm] \IQ [/mm] hat, durch die Determinante der Matrix selbst, die natürlich auch in [mm] \IQ [/mm] liegt. Also ist die in [mm] \IC [/mm] berechnete Inverse der Matrix in [mm] \IQ.
[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Mi 22.12.2010 | | Autor: | wieschoo |
Also es folgt nicht direkt daraus, denn
[mm]\sum_{k=0}^5(-1)^k=0[/mm] obwohl kein einzelner Summand Null ist. Aber A soll ja invertierbar sein: [mm]iAY=0\,\Rightarrow Y=0[/mm].
|
|
|
|
