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| Aufgabe | Bestimmen Sie, für welche Werte von [mm] x\in\IR [/mm] die folgende Matrix invertierbar ist
[mm] \pmat{ 0 & x & 1 \\ -1 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 1 }
[/mm]
Bestimmen Sie die inverse Matrix wenn sie existiert. |
Hi,
also die Matrix ist invertierbar, wenn ihre determinante ungleich null ist. Die Determinante der Matrix, nennen wir sie A.
Det(A)=-(x+6) [mm] \Rightarrow [/mm] invertierbar für $ [mm] x\not= [/mm] -6 $
So, dann versuche ich also die Matrix zu invertieren, indem ich sie zur 3x3 ID reduziere. Meine Frage ist jetzt, wie gehe ich hier am schlausten vor, ich meine das x kann die Sache ja sehr unschön machen, ziel müsste es doch eigentlich sein, die x so in der Matrix zu platzieren, dass der jeweilige Ausdruck entweder 0 oder 1 sein muss. Ich bekomme dabei jedoch gerne ausdrücke, wo die matrix für verschiedene Werte die 3x3 ID ist... Wie geht man also am intelligentesten vor ?
Lg
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Hallo,
irgendwie sehe ich das Problem nicht...
Hast Du schon gerechnet? Vielleicht solltest Du es mal vormachen.
Ich hab A|E problemlos umformen können mit Gauß zu [mm] E|A^{-1} [/mm] - ob ich die schlaueste Variante getroffen habe, weiß ich nicht, aber es hat funktioniert, ohne daß ich weitere Sorgenfalten bekommen habe.
(Mein einziger "Kunst"griff zwischendurch war, daß ich die Zeile mit dem x mit 6 multipliziert habe...)
Gruß v. Angela
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Hallo angela,
danke für deine antwort!
Ich kämpfe immer ein wenig mit Umformungen, da ich in der Schule mit CAS-Rechner gearbeitet habe und es nie selbst machen musste, deswegen fehlt mir da die Übung, woran ich im Moment arbeite !
Nun, also zur Aufgabe:
$ [mm] \pmat{ 0 & x & 1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1} [/mm] $
Also ich habe zuerst die zweite Zeile zur ersten addiert.
Dann die erste von der zweiten abgezogen, danach hatte ich
$ [mm] \pmat{ -1 & x+3 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -x & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1} [/mm] $
Jetzt zwei mal die erste zeile zur dritten hinzuaddieren:
$ [mm] \pmat{ -1 & x+3 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -x & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2*x+6 & 1 & 2 & 2 & 1} [/mm] $
Jetzt die dritte zur zweiten Zeile addieren
$ [mm] \pmat{ -1 & x+3 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & x+6 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2*x+6 & 1 & 2 & 2 & 1} [/mm] $
die erste Zeile noch mit -1 multiplizieren und, dann sieht man, dass sich für -6 eine null-zeile ergibt (die zweite), d.h. dann wäre sie nicht invertierbar, die erste und zweite zeile entsprichen der Identität von x=-3 .
Korrekt ?
Lg
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> Nun, also zur Aufgabe:
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> [mm]\pmat{ 0 & x & 1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Also ich habe zuerst die zweite Zeile zur ersten addiert.
Hallo,
nur kurz - eigentlcih bin ich schon fast im Discounter meines Vertrauens...
Vertausche die erste und zweite Zeile.
damit hast Du dann eine schöne erste Zeile ohne x, und die 3. Zeile, die Du Dir danach machst, wird auch x-frei sein.
So kommst Du sicher bequemer zum Ziel.
>
> Dann die erste von der zweiten abgezogen, danach hatte ich
>
>
> [mm]\pmat{ -1 & x+3 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -x & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Jetzt zwei mal die erste zeile zur dritten hinzuaddieren:
>
> [mm]\pmat{ -1 & x+3 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -x & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2*x+6 & 1 & 2 & 2 & 1}[/mm]
>
> Jetzt die dritte zur zweiten Zeile addieren
>
> [mm]\pmat{ -1 & x+3 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & x+6 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2*x+6 & 1 & 2 & 2 & 1}[/mm]
Ich nehme jetzt einfach malzum Weitermachen ungeprüf das, was hier steht.
Die zweite Zeile kannst Du ungestraft durch x+6 dividieren, denn Du betrachtest ja [mm] x\not=-6.
[/mm]
So kommst Du schnell zu der mittleren Zeile Deiner Einheitsmatrix.
Das (2x+6)-fache dieser Zeile von der letzten abziehen, damit steht die ZSF, die Einheitsmatrix ist dann sicher schnell gemacht.
Ich hoffe, Du kommst so klar.
Gruß v. Angela
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>
> die erste Zeile noch mit -1 multiplizieren und, dann sieht
> man, dass sich für -6 eine null-zeile ergibt (die zweite),
> d.h. dann wäre sie nicht invertierbar, die erste und
> zweite zeile entsprichen der Identität von x=-3 .
>
> Korrekt ?
>
> Lg
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