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Hallo,
ich bin gerade dabei für meine Analysis 1 Klausur zu lernen und bin auf 2 Beispiele gestoßen, die ich nicht ganz verstehe.
Warum ist
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \\ 1, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \end{cases}
[/mm]
in jedem Punkt unstetig, aber
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x>0 \mbox{ irrational} \\ 1/q, & \mbox{für } x=p/q \mbox{ rational} \end{cases}
[/mm]
an den irrationalen Stellen stetig? Könnte die Dirichletsche Funktion dann nicht auch in den irrationalen Stellen stetig sein?!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke für Ratschläge!
Gruß Mathe2207
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> Hallo,
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> ich bin gerade dabei für meine Analysis 1 Klausur zu
> lernen und bin auf 2 Beispiele gestoßen, die ich nicht
> ganz verstehe.
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> Warum ist
>
> [mm]\ f(x)=\begin{cases} 0, & \text{für}\ x \mbox{ irrational} \\ 1, & \text{für}\ x \mbox{ rational} \end{cases}[/mm]
>
> in jedem Punkt unstetig, aber
>
> [mm]\ f(x)=\begin{cases} 0, & \text{für}\ x>0 \mbox{ irrational} \\ 1/q, & \text{für}\ x=p/q \mbox{ rational} \end{cases}[/mm]
Damit diese Funktion klar definiert wäre, sollte man noch
verlangen, dass p und q teilerfremd sind !
> an den irrationalen Stellen stetig? Könnte die
> Dirichletsche Funktion dann nicht auch in den irrationalen
> Stellen stetig sein?!
> Gruß Mathe2207
Hallo,
um sich über rationale Zahlenwerte an eine irrationale
Zahl [mm] x_0 [/mm] "heranzupirschen" (mittels einer Folge rat. Zahlen),
müssen die Nenner der dabei verwendeten rationalen
Zahlen zwangsläufig gegen unendlich streben.
Die reziproken Werte davon streben somit stets gegen Null,
den Funktionswert [mm] f(x_0) [/mm] (bei der zweiten Funktion).
Bei der ersten Funktion ist aber [mm] f(r_n)=1 [/mm] für alle rationalen
[mm] r_n [/mm] . Deshalb ist [mm] \limes_{n\to\infty}f(r_n)=1 [/mm] für alle rationalen
Folgen mit [mm] \limes_{n\to\infty}r_n=x_0 [/mm] .
LG Al-Chw.
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