irreduzible Faktoren < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Do 05.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | [mm] A=\pmat{ -1 & 0 & 5 & -5 \\ -2 & 3 & 4 & -3 \\ -3 & 1 & 5 & -2 \\ -2 & -1 & 4 & 1 } \in M_{4}(\IQ).
[/mm]
Man bestimme das charakteristische Polynom von A und seine Zerlegung in ein Produkt von normierten irreduziblen Faktoren. |
Hallo zusammen^^
Ich hab das charakteristische Polynom schon bestimmt, es ist [mm] P(x)=x^{4}-8x^{3}+20x^{2}-32x+64.
[/mm]
Aber ich weiß nicht, wie ich das in normierte irreduzible Faktoren zerlegen kann. Wie geht man da am besten vor?
Vielen Dank
lg
|
|
| |
|
Hallo Mandy_90,
> [mm]A=\pmat{ -1 & 0 & 5 & -5 \\ -2 & 3 & 4 & -3 \\ -3 & 1 & 5 & -2 \\ -2 & -1 & 4 & 1 } \in M_{4}(\IQ).[/mm]
>
> Man bestimme das charakteristische Polynom von A und seine
> Zerlegung in ein Produkt von normierten irreduziblen
> Faktoren.
> Hallo zusammen^^
>
> Ich hab das charakteristische Polynom schon bestimmt, es
> ist [mm]P(x)=x^{4}-8x^{3}+20x^{2}-32x+64.[/mm]
> Aber ich weiß nicht, wie ich das in normierte irreduzible
> Faktoren zerlegen kann. Wie geht man da am besten vor?
Zerlege das Polynom zunächst in Faktoren.
Es handelt sich um ein ganzzahliges normiertes Polynom,
d.h. als mögliche Nullstellen kommen alle Teiler von 64
in Frage.
Dann untersuchst Du die einzelnen Faktoren auf
Irreduzibilität über [mm]\IQ[/mm]
>
> Vielen Dank
> lg
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:55 Do 05.05.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Mandy,
> Es handelt sich um ein ganzzahliges normiertes Polynom,
> d.h. als mögliche Nullstellen kommen alle Teiler von 64
> in Frage.
Also [mm] \pm1, \pm2, \pm4, \pm8, \pm16, \pm32, \pm64.
[/mm]
Davon ist nur x=4 eine Nullstelle. In der vollständigen Faktorisierung Deines Polynoms kommen aber nur lineare und/oder quadratische Faktoren vor. Was sagt Dir das über die Nullstelle x=4?
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Do 05.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy,
>
> > Es handelt sich um ein ganzzahliges normiertes Polynom,
> > d.h. als mögliche Nullstellen kommen alle Teiler von
> 64
> > in Frage.
>
> Also [mm]\pm1, \pm2, \pm4, \pm8, \pm16, \pm32, \pm64.[/mm]
>
> Davon ist nur x=4 eine Nullstelle. In der vollständigen
> Faktorisierung Deines Polynoms kommen aber nur lineare
> und/oder quadratische Faktoren vor. Was sagt Dir das über
> die Nullstelle x=4?
Wenn das so ist,dann muss 4 mindestens zweifache Nullstelle sein.Aber woher weißt du das schon, dass nur lineare und quadratische Faktoren vorkommen? Woran sieht man das?
Ich habe jetzt eine Zerlegung,unzwar:
[mm] p(x)=(x-4)^{2}*(x^{2}+4).
[/mm]
Normiert sind die Faktoren, und damit sie irreduzibel sind, dürfen sie nicht invertierbar sein. Aber wie überprüfe ich das denn,ob die invertierbar sind?
Eigentlich müsste das doch die Zerlegung in irreduzible Faktoren sein oder?
Vielen Dank
lg
|
|
|
| |
|
Hallo Mandy,
> > Davon ist nur x=4 eine Nullstelle. In der vollständigen
> > Faktorisierung Deines Polynoms kommen aber nur lineare
> > und/oder quadratische Faktoren vor. Was sagt Dir das über
> > die Nullstelle x=4?
>
> Wenn das so ist,dann muss 4 mindestens zweifache Nullstelle
> sein.
Genau.
> Aber woher weißt du das schon, dass nur lineare und
> quadratische Faktoren vorkommen? Woran sieht man das?
Das sieht man nicht. Polynome über [mm] \IQ [/mm] mit einem größeren Grad als 2 sind reduzibel. Das gilt ganz unabhängig von Deinem vorliegenden Polynom.
> Ich habe jetzt eine Zerlegung,unzwar:
> [mm]p(x)=(x-4)^{2}*(x^{2}+4).[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Korrekt.
> Normiert sind die Faktoren, und damit sie irreduzibel sind,
> dürfen sie nicht invertierbar sein. Aber wie überprüfe
> ich das denn,ob die invertierbar sind?
Bist Du sicher, dass das Eure Definition ist? Eigentlich gilt ein Polynom als irreduzibel, wenn es nicht als Produkt zweier nicht invertierbarer Faktoren geschrieben werden kann. Soweit ich sehe, kann es dazu selbst aber durchaus invertierbar sein.
> Eigentlich müsste das doch die Zerlegung in irreduzible
> Faktoren sein oder?
Ja, das ist sie.
Lineare Faktoren sind regelmäßig irreduzibel, und quadratische [mm] (x^2+ax+b) [/mm] mit negativer Diskriminante [mm] \tfrac{1}{4}a^2-b<0 [/mm] ebenfalls. Diese scheinbar allzu offensichtliche Faustregel birgt aber Fallen. Ob sie in dieser Form gilt, hängt nämlich davon ab, über welchem Körper Du gerade arbeitest. Also Vorsicht. Über [mm] \IQ [/mm] gilt sie aber, so auch über [mm] \IN [/mm] und [mm] \IZ.
[/mm]
Grüße
reverend
|
|
|
|
