irreduzible Polynome < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Fr 22.10.2010 | | Autor: | savage |
| Aufgabe | Es sei [mm] K=F_3=\{-1,0,1\} [/mm] der Körper mit 3 elementen.
Gib alle irreduziblen Polynome aus K[X] an, deren Grad höchstens vier ist. |
hallo,
gibt es hier einen bestimmten weg, um diese polynome herauszufinden, oder ist die einzige möglichkeit, alle möglichkeiten durchzuprobieren und die jeweiligen polynome auf nullstellen zu überprüfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Fr 22.10.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo savage
Du kannst auch alle reduziblen Polynome bestimmen, die uebrig bleibenden muessen dann irreduzubel sein.
Die Reduziblen zerfallen vollstaendig, also drei Nullstellen (mit Vielfachheit) oder sind das Produkt eines Irreduziblen vom Grad 2 mit einem Linearfaktor.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Sa 23.10.2010 | | Autor: | savage |
polynome vom grad 0 und 1 kommen nicht in frage.
ich habe mich jetzt an denen von grad 2 versucht, und habe jetzt schon 18 verschiedene möglichkeiten für polynome vom grad 2.
ich kann mir kaum vorstellen, dass der sinn dieser aufgabe der ist, dass man mehrere hundert möglichkeiten durchprobiert.
wenn ich alle reduziblen polynome bestimmen möchte, dann muss ich ja trotzdem alle möglichkeiten durchprobieren.
da muss es doch sicherlich einen trick bei geben..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Sa 23.10.2010 | | Autor: | moudi |
Man kann sich auf Polynome mit Leitkoeffizient 1 beschraenken. Ist ein Polynom vom Grad 3 reduzibel, so besitzt es einen Linearfaktor, also eine Nullstelle. Diese Nullstelle kann nur 0, 1 oder -1 sein.
Jetzt kannst du alle Polynome mit Nullstelle 0 ausschliessen (einfach).
Du kannst Polynome mit Nullstelle 1 einfach finden (Tipp Summe der Koeffizienten! )
Du kannst Polynome mit Nullstelle -1 einfach finden (Tipp alternierende Summe der Koeffizienten!)
Ich komme so auf 8 Irreduzible Polynome.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Mi 27.10.2010 | | Autor: | savage |
entschuldige bitte die späte antwort.
ich habe bisher erst 6 irreduzible polynome finden können:
1) [mm] x^2+x-1
[/mm]
2) [mm] x^2-x-1
[/mm]
3) [mm] x^2+1
[/mm]
diese haben alle leitkoeffizient 1.
nun habe ich aber auch 3 polynome finden können, deren leitkoeffizient -1 ist:
[mm] 4)-x^2+x+1
[/mm]
[mm] 5)-x^2-x+1
[/mm]
[mm] 6)-x^2-1
[/mm]
diese sind bisher allerdings nur vom grad 2.
auffallend ist, dass die polynome jeweils das "umgekehrte" vorzeichen besitzen, deshalb vermute ich, dass ich, wenn du richtig liegst mit 8 polynomen, ich nur noch 1 weiteres finden muss, und dann nur noch das vorzeichen "umkehren" muss, um das letzte zu erhalten.
oder liege ich mit meinen überlegungen weit daneben?
edit: ich habe nun auch nummer 7 und 8 gefunden:
7) [mm] -x^3+x^2-x-1
[/mm]
8) [mm] x^3-x^2+x+1[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Do 28.10.2010 | | Autor: | moudi |
Nein es sind 8 Polynome (mit Leitkoeffizient 1) vom Grad 3, die irreduzibel sind.
Wenn [mm] $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ [/mm] ein reduzibles Polynom ist, dann besitzt es einen Linearfaktor und damit eine Nullstelle in $Z/3Z$.
Wegen $p(0)=d$, ist $x=0$ Nullstelle gdw. d=0.
Wegen $p(1)=a+b+c+d$, ist $x=1$ Nullstelle gdw. $a+b+c+d=0$ in Z/3Z, d.h. [mm] $a+b+c+d=0\mod [/mm] 3$.
Wegen $p(-1)=-a+b-c+d$, ist $x=-1$ Nullstelle gdw. $-a+b-c+d=0$ in Z/3Z, d.h. [mm] $-a+b-c+d=0\mod [/mm] 3$.
Ein Polynom ist irreduzibel, wenn keine der obenstehenden Bedingungen erfuellt ist.
Bisher hast du nur ein irreduzibles Polynom gefunden, denn 7) und 8) sind aequivalent.
Um Schreibarbeit zu ersparen schreibe ich einfach $(a,b,c,d)$ fuer das Polynom. Dann gibt es drei Polynome der Form $(1,1,c,d)$, zwei Polynome der Form $(1,0,c,d)$ und drei Polynome der Form $(1,-1,c,d)$.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:46 Mo 01.11.2010 | | Autor: | savage |
danke für die erklärung, jetzt hab ich es verstanden :)
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