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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 Do 21.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Man bestimme alle irreduziblen Polynome vom Grad 2 in [mm] \IF_{5}[X]. [/mm] |
Hallo zusammen^^
Ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht mehr weiter.Ich habe folgenden Ansatz.Es ist [mm] p(X)=a*X^{2}+b*X+c [/mm] mit a,b,c [mm] \in \{0,1,2,3,4\}.
[/mm]
Ein Polynom p ist irreduzibenl genau dann wenn p [mm] \not=0, [/mm] p nicht invertierbar und wenn aus [mm] p=q_{1}*q_{2} [/mm] folgt,dass [mm] q_{1} [/mm] oder [mm] q_{2} [/mm] invertierbar ist.
Jetzt gibt es so viele Kombinationen für a,b und c. Der Sinn der Aufgabe kann es doch nicht sein, jede Kombination durchzugehen.
Also a=b=c=0 fällt schonmal weg,denn dann hätte man das Nullpolynom.
Wenn c=0 ist,habe ich [mm] p(X)=aX^{2}+bX=X*(aX+b). [/mm] Dann muss X oder (aX+b) invertierbar sein.Aber wie finde ich denn jetzt heraus, ob eins von beiden inverierbar ist.Das Inverse von X wäre doch einfach 1/x.Also müssten alle Polynome mit c=0 irreduzibel.
Aber ich weiß leider nicht, wie ich hier am geschicktesten vorgehen kann.Hat jemand einen Tipp für mich?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Do 21.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Man bestimme alle irreduziblen Polynome vom Grad 2 in
> [mm]\IF_{5}[X].[/mm]
> Hallo zusammen^^
>
> Ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht mehr weiter.Ich
> habe folgenden Ansatz.Es ist [mm]p(X)=a*X^{2}+b*X+c[/mm] mit a,b,c
> [mm]\in \{0,1,2,3,4\}.[/mm]
>
> Ein Polynom p ist irreduzibenl genau dann wenn p [mm]\not=0,[/mm] p
> nicht invertierbar und wenn aus [mm]p=q_{1}*q_{2}[/mm] folgt,dass
> [mm]q_{1}[/mm] oder [mm]q_{2}[/mm] invertierbar ist.
>
> Jetzt gibt es so viele Kombinationen für a,b und c. Der
> Sinn der Aufgabe kann es doch nicht sein, jede Kombination
> durchzugehen.
Nein.
Benutze folgende Aussagen:
1) Ist $f [mm] \in [/mm] K[X]$ von Grad 2 (oder von Grad 3), dann ist $f$ irreduzibel genau dann, wenn $f$ keine Nullstellen in $K$ hat.
2) Ist $f [mm] \in [/mm] K[X]$ und [mm] $\lambda \in [/mm] K [mm] \setminus \{ 0 \}$, [/mm] so ist $f$ irreduzibel genau dann, wenn [mm] $\lambda [/mm] f$ irreduzibel ist.
Daraus folgt:
a) Du kannst dich auf Polynome der Form [mm] $X^2 [/mm] + a X + b [mm] \in \IF_5[X]$ [/mm] beschraenken.
b) Du musst nur schauen, ob so ein Polynom Nullstellen hat oder nicht.
Am einfachsten ist es, alle Polynome hinzuschreiben, die Nullstellen haben. Diese zerfallen naemlich in Linearfaktoren (da sie Grad 2 haben), sind also von der Form $(X + c) (X + d) = [mm] X^2 [/mm] + (c + d) X + c d$ mit $c, d [mm] \in \IF_5$.
[/mm]
Also: rechne fuer alle $0 [mm] \le [/mm] c [mm] \le [/mm] d < 5$ jeweils [mm] $X^2 [/mm] + (c + d) X + c d$ in [mm] $\IF_5[X]$ [/mm] aus, und schreibe alle anderen normierten Polynome von Grad 2 hin die nicht in der ersten Liste auftauchen. Dies sind dann die normierten irreduziblen Polynome von Grad 2. Indem du sie mit 2, 3, 4 multiplizierst, bekommst du alle weiteren irreduziblen Polynome von Grad 2.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Fr 22.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Felix,
vielen Dank schonmal für deine Hilfe.
> Benutze folgende Aussagen:
>
> 1) Ist [mm]f \in K[X][/mm] von Grad 2 (oder von Grad 3), dann ist [mm]f[/mm]
> irreduzibel genau dann, wenn [mm]f[/mm] keine Nullstellen in [mm]K[/mm] hat.
>
Ok,ich benutze das, aber mir ist nicht ganz klar,wieso das so ist.Vielleicht dewegen, weil ich [mm] f=p_{1}*p_{2} [/mm] habe. Wenn das =0 ist,also [mm] f=p_{1}*p_{2}=0 [/mm] ist, dann ist weder [mm] p_{1} [/mm] noch [mm] p_{2} [/mm] invertierbar und eins von beiden muss ja invertierbar sein. Ist es deswegen so?
> 2) Ist [mm]f \in K[X][/mm] und [mm]\lambda \in K \setminus \{ 0 \}[/mm], so
> ist [mm]f[/mm] irreduzibel genau dann, wenn [mm]\lambda f[/mm] irreduzibel
> ist.
>
Ich hab es jetzt so gemacht,wie du hast und habe folgende Polynome, die irreduzibel sind:
[mm] X^{2}+X+1,
[/mm]
[mm] X^{2}+X+2,
[/mm]
[mm] X^{2}+2X+3,
[/mm]
[mm] X^{2}+2X+4,
[/mm]
[mm] X^{2}+3X+3
[/mm]
[mm] X^{2}+3X+4,
[/mm]
[mm] X^{2}+4X+2,
[/mm]
[mm] X^{2}+4X+1,
[/mm]
[mm] X^{2}+2,
[/mm]
[mm] X^{2}+3
[/mm]
[mm] X^{2}+4,
[/mm]
Diese müsste ich jetzt noch jeweils mit 2,3 und 4 multiplizieren,dann hätte ich alle. Das wären insgesamt 44 Polynome. Stimmt das denn so?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy_90,
> Hallo Felix,
>
> vielen Dank schonmal für deine Hilfe.
> > Benutze folgende Aussagen:
> >
> > 1) Ist [mm]f \in K[X][/mm] von Grad 2 (oder von Grad 3), dann ist [mm]f[/mm]
> > irreduzibel genau dann, wenn [mm]f[/mm] keine Nullstellen in [mm]K[/mm] hat.
> >
> Ok,ich benutze das, aber mir ist nicht ganz klar,wieso das
> so ist.Vielleicht dewegen, weil ich [mm]f=p_{1}*p_{2}[/mm] habe.
> Wenn das =0 ist,also [mm]f=p_{1}*p_{2}=0[/mm] ist, dann ist weder
> [mm]p_{1}[/mm] noch [mm]p_{2}[/mm] invertierbar und eins von beiden muss ja
> invertierbar sein. Ist es deswegen so?
>
>
> > 2) Ist [mm]f \in K[X][/mm] und [mm]\lambda \in K \setminus \{ 0 \}[/mm], so
> > ist [mm]f[/mm] irreduzibel genau dann, wenn [mm]\lambda f[/mm] irreduzibel
> > ist.
> >
>
>
> Ich hab es jetzt so gemacht,wie du hast und habe folgende
> Polynome, die irreduzibel sind:
>
> [mm]X^{2}+X+1,[/mm]
> [mm]X^{2}+X+2,[/mm]
> [mm]X^{2}+2X+3,[/mm]
> [mm]X^{2}+2X+4,[/mm]
> [mm]X^{2}+3X+3[/mm]
> [mm]X^{2}+3X+4,[/mm]
> [mm]X^{2}+4X+2,[/mm]
> [mm]X^{2}+4X+1,[/mm]
> [mm]X^{2}+2,[/mm]
> [mm]X^{2}+3[/mm]
> [mm]X^{2}+4,[/mm]
[mm]X^{2}+4[/mm] ist doch reduzibel in [mm]\IF_{5}\left[X\right][/mm]
Die anderen Polynome sind richtig.
>
> Diese müsste ich jetzt noch jeweils mit 2,3 und 4
> multiplizieren,dann hätte ich alle. Das wären insgesamt
> 44 Polynome. Stimmt das denn so?
>
> Vielen Dank
> lg
Gruss
MathePower
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