isoliertes Maximum < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:10 Sa 08.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
| Aufgabe | Sei f: (a,b) [mm] \to \IR [/mm] eine [mm] C^\infty [/mm] -Funktion, [mm] x_0 \in [/mm] (a,b) und n [mm] \in \IN. [/mm]
Es gelte
f' [mm] (x_0) [/mm] =... = [mm] f^{n} (x_0) [/mm] = 0 und [mm] f^{n+1} (x_0) [/mm] > 0.
Zeigen Sie : Ist n gerade, so ist f in einer Umgebung von [mm] x_0 [/mm] streng monoton wachsend, ist n ungerade, so hat f bei [mm] x_0 [/mm] ein isoliertes lokales Minimum. |
Hi,
ich habe ein paar Fragen zu der Aufgabe:
1. Was ist eine [mm] "C^\infty [/mm] -Funktion" ?
2. Für gerades n schreibe ich n:= 2n, für ungerades n:= 2n+1. Wie kann ich
diese Fallunterscheiduing in die Aussage f' [mm] (x_0) [/mm] =... = [mm] f^{n} (x_0) [/mm] = 0
und [mm] f^{n+1} (x_0) [/mm] > 0. einbringen? Oder ist das nur Bluff???
3. Ich kann mit dem Begriff "lokales Miinimum" etwas anfangen und kann
das von einer gegebenen Funktion auch berechnen. Aber was ist der
Unterschied zum "isolierten llokalen Miinimum"?
4. Von welcher konkreten Funktion soll ich denn die "§treng wachsende
Monotonie" zeigen??
Wer hat einen Lösungsansatz für mich? Würde mich daüber sehr freuen.
Deste Grüße
didi_160
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Sa 08.07.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Didi,
was mir dazu einfällt:
Ist die erste von Null verschiedene Ableitung von gerader Ordnung (z.B. $f'=0 [mm] \wedge f''\ne [/mm] 0$) so liegt ein Extremum vor, dessen Art vom Vorzeichen der "letzten" Ableitung abhängt.
Sonst nicht.
Im umgekehrten Fall liegt m.E. ein Sattelpunkt / stationärer Punkt vor, was allerdings im Widerspruch zur in der Aufgabe geforderten strengen Monotonie steht....
Vielleicht konnte ich ein klein wenig weiterhelfen.
Schöne Grüße,
ardik
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Mo 10.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Funktion f: (a,b) [mm] \to \IR [/mm] mit [mm] x_0 \in [/mm] (a,b) und n [mm] \in [/mm] N.
Bekannt [mm] f'(x_0) [/mm] =... = [mm] f^{n} (x_0) [/mm] = 0 und [mm] f^{n+1} (x_0) [/mm] > 0.
Es ist zu zeigen: Für gerade n, ist f in einer Umgebung von
[mm] x_0 [/mm] streng monoton wachsend, für ungerade n, hat f bei [mm] x_0 [/mm] ein lokales Minimum.
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Hallo,
ich weiß:
Ist die erste von Null verschiedene Ableitung von gerader Ordnung, so liegt ein Extremum vor. Und zwar: [mm] f^{2n} (x_0) [/mm] > 0 [mm] \to [/mm] Minimum,
[mm] f^{2n} (x_0) [/mm] < 0 [mm] \to [/mm] Maximum.
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Ist die erste von Null verschiedene Ableitung von ungerader Ordnung, so liegt ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, sprich Sattelpunkt vor.
[mm] f^{2n+1} (x_0) \not=0 \to [/mm] Wendepunkt (Sattelpunkt).
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Die Fakten sind mir klar.
"Für gerade n, ist f in einer Umgebung von [mm] x_0 [/mm] streng monoton wachsend "??
Bei n gerade heißt das lt. Aufgabe [mm] \to f^{2n+1} (x_0) \to [/mm] Sattelpunkt Oder??? Laut Aufgabe wird aber der Nachweis "streng momoton wachsend" gefordert. Ich stelle mir dazu folgenden Funktionsverlauf vor: 3.Quadrant: von -Unendlich stetig wachsend, Sattelpunkt bei(0,0) im 1. Quadranten stetig wachsend gegen + Unendlich.
Wie kann ich das aber allgemeingültig "zeigen" ????
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Bei n ungerade heißt das lt. Aufgabe [mm] \to f^{2n} (x_0) [/mm] >0 [mm] \to [/mm] Minimum. Oder???
Wie kann ich das aber allgemeingültig "zeigen" ????
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Wer hat einen Lösungsansatz für mich?
Besten Dank im Voraus.
Gruß didi_160
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Di 11.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo,
hat denn keiner zu der Aufgbe einen Tipp für mich???
Beste Grüße didi_160
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Hallo didi,
Wie wär's mit einer Taylorentwicklung?
viele Grüße
mathemaduenn
Es gilt weiterhin keine Doppelpostings!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Do 13.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo,
> Wie wär's mit einer Taylorentwicklung?
Ich soll f(x) in eine Taylorreihe entwickeln. Aber welche Potenzreihe nehme ich?? Stünde sin x , hätte ich eine Idee bezüglich der Taylorreihe. Aber in meiner Aufgabe ist doch von gar keiner konkreten Funktion die Rede??
Ich finde keinen Ansatz und keine Lösung. Wer kann mir weiterhelfen???
Beste Grüße
didi_160
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Do 13.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo didi!
Verwende hier die allgemeine Darstellung der Taylor-Reihe. Diese vereinfacht sich durch die bekannten Werte der ersten $n_$ Ableitungen [mm] $f'(x_0) [/mm] \ = \ [mm] f''(x_0) [/mm] \ = \ [mm] f'''(x_0) [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] f^{(n)}(x_0) [/mm] \ = \ 0$ drastisch.
$f(x) \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)}(x_0)}{n!}*(x-x_0)^n [/mm] \ = \ [mm] f(x_0)+\bruch{f'(x_0)}{1!}*(x-x_0)+\bruch{f''(x_0)}{2!}*(x-x_0)^2+...+\bruch{f^{(n)}(x_0)}{n!}*(x-x_0)^n+...+\bruch{f^{(n+1)}(x_0)}{n!}*(x-x_0)^{n+1}+...$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Do 13.07.2006 | | Autor: | DirkG |
Statt Taylorreihe würde ich die Verwendung der endlichen ![[]](/images/popup.gif) Taylor-Formel empfehlen, am besten in der Form mit Langrange-Restglied.
Bei der Betrachtung des Restgliedes kann man die Stetigkeit der (n+1)-ten Ableitung nutzen, die sich ja aus [mm] $f\in C^{\infty}$ [/mm] ergibt: Aus [mm] $f^{(n+1)}(x_0)>0$ [/mm] kann man etwa auf die Existenz einer Umgebung $U$ von [mm] $x_0$ [/mm] schließen, für die [mm] $f^{(n+1)}(x)\geq \frac{1}{2}f^{(n+1)}(x_0)>0$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] U$ gilt. Der Nachweis eines isolierten lokalen Minimums bei [mm] $x_0$ [/mm] (im Fall $n$ ungerade) sollte dann mittels Taylorformel kein Problem mehr sein.
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