isometrischer Isomorphismus < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:23 Di 21.04.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
wie kann man zeigen, dass durch
T: [mm] l_1 \rightarrow c_0' [/mm] mit (Tx)y := [mm] \sum_{j=1}^{\infty} x_j y_j [/mm] ein isometrischer Isomorphismus gegeben ist?
Rein theoretisch müsste ich wohl zeigen, dass T bijektiv ist und [mm] T^{-1} [/mm] stetig ist, dann haben wir einen Isomorphismus.
Damit er auch längenerhaltend ist, muss [mm] \|Tx\| [/mm] = [mm] \|x\| [/mm] gelten.
Gibt es hier einige Tricks um das abzukürzen, oder wie kann man das am besten machen?
Achja, [mm] c_0 [/mm] ist definiert als [mm] c_0:= \{x=(x_j)_{j \in N}: \lim_{j \rightarrow \infty} x_j = 0 \}
[/mm]
und [mm] l_1 [/mm] := [mm] {x=(x_j)_{j \in N}: \sum_{j=1}^{\infty} |x_j|^p < \infty}.
[/mm]
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 23.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Etwas spät, aber vielleicht gibt es ja noch Interesse an der Antwort:
Die Isometrie sollte nicht zu schwer zu zeigen sein - was ist die Norm auf den Banachräumen? Dann nachrechnen.
Ist T isometrisch, dann auch injektiv (und die Stetigkeit hat man damit auch erledigt). Jetzt kommt der Satz von der offenen Abbildung: T ist surjektiv genau dann, wenn T offen ist. Also Offenheit nachweisen und das war's schon.
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