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Hallo,
Ich habe folgende Aufgabe, bestimmt ganz einfach, und weiß nicht, wie ich gucken soll.
Auf der Menge G:={e,a,b,c} seien die Verknüpfungen $ [mm] \odot, \otimes [/mm] $ wie folgt erklärt:
[mm] \odot [/mm] e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c a e
c c b e a
$ [mm] \otimes [/mm] $ e a b c
e e a b c
a a b c e
b b c e a
c c e a b
Verifizieren Sie, dass (G, $ [mm] \odot [/mm] $) und (G, $ [mm] \otimes$ [/mm] ) isomorphe Gruppen sind.
Gruppen scheinen es ja zu sein, aber was ich jetzt nachweisen muss, ist wohl $ [mm] \gamma(g1,g2)=\gamma(g1) \circ \gamma(g2) [/mm] $ und ich habe keinen kleinen Blicker. Für einen schubs oder Tritt in die richtige Richtung wäre ich dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Di 16.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Wir haben in beiden Gruppen ein idempotenten Element (also eines mit $g [mm] \odot [/mm] g=e$ bzw. $g [mm] \otimes [/mm] g=e$) und beide Gruppen werden von zwei Elementen erzeugt (sind also zyklisch). Es ist klar, dass wir das idempotente Element der ersten Gruppe $(a)$ auf das idempotente Element der zweiten Gruppe $(b)$ abbilden müssen.
Wir setzen also:
[mm] $\varphi(e):=e$
[/mm]
und
[mm] $\varphi(a):=b$.
[/mm]
Weiterhin müssen wir ein Erzeugendes der ersten Gruppe auf ein Erzeugende der zweiten Gruppen abbilden.
Wir setzen jetzt mal
[mm] $\varphi(b):=c$
[/mm]
und
[mm] $\varphi(c):=a$.
[/mm]
Jetzt kannst du ja mal nachweisen, dass [mm] $\varphi$ [/mm] ein Homomorphismus ist (also die von dir selber aufgestellten Beziehungen nachweisen; einiges davon gilt ja nach Konstruktion). Dann ist gezeigt, dass [mm] $\varphi$ [/mm] ein Isomorphismus ist, denn die Bijektivität ist klar.
Liebe Grüße
Stefan
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Hi Stefan,
Danke. Das ging ja fix. Mir ist zwar noch nicht klar, warum a zu b abgebildet wird, aber ich werde mal kämpfen. Falls du noch einen Tipp hast, wie man ganz schnell lernt, so abstrakt zu denken, wäre das voll toll.
Viele Grüße aus Potsdam
Falko
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