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Forum "Folgen und Reihen" - ist best. Folge Cauchy-Sequenz
ist best. Folge Cauchy-Sequenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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ist best. Folge Cauchy-Sequenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:50 Do 07.10.2010
Autor: starik

Aufgabe
Zeige das die Folge [mm] {x_{k}}=1/1² [/mm] + 1/2² + ... + 1/k² eine Cauchy-Folge ist

Hallo liebe Gemeinde,

vielen Dank für euren Service. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Habe eine Übungsaufgabe und Lsg., aber ich kapier's einfach nicht.

Aufg.: Zeige, dass die Folge [mm] {x_{k}}=1/1² [/mm] + 1/2² + ... + 1/k² eine Cauchy-Folge ist.

Dann steht da m,n natürl. Zahlen, wobei m>n und p=m-n.
[mm] |x_{m}-x_{n}|= |x_{n+p}-x_{n}|=1/(n+1)² [/mm] + ... + 1/(n+p)²

Bis jetzt alles logo, aber dann:

< 1/n(n+1) + ... + 1/(n+p-1)(n+p)

Woher kommt das "<"? Woher kommt 1/n(n+1)?

Wahrscheinlich sehe ich nur den Wald vor lauter Bäumen nicht, aber ich könnte gerade das Buch (wo die Aufgabe steht) auffressen.

Vielen Dank!!!

        
Bezug
ist best. Folge Cauchy-Sequenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:23 Do 07.10.2010
Autor: schachuzipus

Hallo starik und erstmal herzlich [willkommenmr],

> Zeige das die Folge [mm]{x_{k}}=1/1²[/mm] + 1/2² + ... + 1/k²
> eine Cauchy-Folge ist
> Hallo liebe Gemeinde,
>
> vielen Dank für euren Service. Ich habe diese Frage in
> keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Habe eine Übungsaufgabe und Lsg., aber ich kapier's
> einfach nicht.
>
> Aufg.: Zeige, dass die Folge [mm]{x_{k}}=1/1²[/mm] + 1/2² + ... +
> 1/k² eine Cauchy-Folge ist.
>
> Dann steht da m,n natürl. Zahlen, wobei m>n und p=m-n.
> [mm]|x_{m}-x_{n}|= |x_{n+p}-x_{n}|=1/(n+1)²[/mm] + ... + 1/(n+p)²

Da hast du ein Quadrat verschlabbert! Da sollte [mm]\frac{1}{(n+1)^{\red{2}}[/mm] stehen! Mache die Exponenten mit dem Dach links neben der 1


>
> Bis jetzt alles logo, aber dann:
>
> < 1/n(n+1) + ... + 1/(n+p-1)(n+p)
>
> Woher kommt das "<"? Woher kommt 1/n(n+1)?

Na, all diese Brüche in der Summe sind positiv.

Wenn du den Nenner eines positiven Bruchs verkleinerst, vergrößerst du den Gesamtbruch: [mm]\frac{1}{4}<\frac{1}{3}[/mm], oder?

Schreibe vorher: [mm]\ldots=\frac{1}{(n+1)(n+1)}+\frac{1}{(n+2)(n+2)}+\ldots+\frac{1}{(n+p)(n+p)}[/mm]

Nun wird im Nenner eines jeden Bruchs dieser Summe der jeweils erste Faktor genau um 1 verkleinert, jeder Bruch wird damit vergrößert, also


[mm]\frac{1}{\red{(n+1)}(n+1)}+\frac{1}{\red{(n+2)}(n+2)}+\ldots+\frac{1}{\red{(n+p)}(n+p)} \ < \ \frac{1}{\red{(n+1-1)}(n+1)}+\frac{1}{\red{(n+2-1)}(n+2)}+\ldots+\frac{1}{\red{(n+p-1)}(n+p)} \ = \ \frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\ldots+\frac{1}{(n+p-1)(n+p)}[/mm]

>
> Wahrscheinlich sehe ich nur den Wald vor lauter Bäumen
> nicht, aber ich könnte gerade das Buch (wo die Aufgabe
> steht) auffressen.

Ob das so gut schmeckt ;-)

>
> Vielen Dank!!!

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
ist best. Folge Cauchy-Sequenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:42 Do 07.10.2010
Autor: starik

Ok, vielen Dank. Ja das mit dem "Verkleinern" ist mir klar, aber ich hatte da ist doch ein = Zeichen, hatte eher

[mm] |x_{n+p}-x_{n}| [/mm] weitergeführt und da erschließt sich mir nicht wie es weitergeht, da

[mm] |x_{n+p}-x_{n}| [/mm] = [mm] 1/(1+n)^2 [/mm] + ... + [mm] 1/(n+p)^2 [/mm] , aber wo ist hier [mm] x_{n}? [/mm]

Bezug
                        
Bezug
ist best. Folge Cauchy-Sequenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Do 07.10.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Ok, vielen Dank. Ja das mit dem "Verkleinern" ist mir klar,
> aber ich hatte da ist doch ein = Zeichen, hatte eher
>
> [mm]|x_{n+p}-x_{n}|[/mm] weitergeführt und da erschließt sich mir
> nicht wie es weitergeht, da
>
> [mm]|x_{n+p}-x_{n}|[/mm] = [mm]1/(1+n)^2[/mm] + ... + [mm]1/(n+p)^2[/mm] , aber wo ist
> hier [mm]x_{n}?[/mm]

[mm] $x_n$ [/mm] wird doch von [mm] $x_{n+p}$ [/mm] abgezogen, da bleiben doch nur diese Summanden von $n+1$ bis $n+p$ übrig.

Schaue dir die Def. der [mm] $x_k$ [/mm] oben nochmal an und schreibe dir mal ausführlich dies auf:

[mm] $x_{n+p}-x_n$ [/mm]

Was steht da ausgeschrieben und was bleibt nach der Subtraktion?

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
ist best. Folge Cauchy-Sequenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:40 Do 07.10.2010
Autor: starik

Danke, jetzt fällt es mir wie Schuppen von den Augen...

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