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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:31 Do 29.06.2006 | | Autor: | Lee1601 |
| Aufgabe 1 | a) [mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{1}^{2}{x³exp(-x²y)dx dy}}
[/mm]
b) [mm] \integral_{-1}^{1}{\integral_{-1}^{1}{1-\parallel x \parallel_{\infty} dx_{1} dx_{2}}}
[/mm]
wobei [mm] x=x_{1}, x_{2} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Sei U [mm] \subset R^n [/mm] offen und M eine zusammenhängende Untermannigfaltigkeit von U. Weiterhin sei f: [mm] U\toR [/mm] eine [mm] C^1-Fkt [/mm] mit
grad f(a) = 0 für alle a [mm] \in [/mm] M.
Zeigen sie, dass f auf M konstant ist.
(hinweis: begradigungslemma) |
| Aufgabe 3 | Sei U [mm] \subset [/mm] R² offen, Zeigen sie, dass es keine injektive [mm] C^1-Fkt [/mm]
f: U [mm] \to [/mm] R gibt.
(hinweis. unterscheiden sie die Fälle grad f(a)=0 für alle a [mm] \in [/mm] U und
grad f(a) [mm] \not=0 [/mm] für ein [mm] a\in [/mm] U.) |
Hallo!
Ich bekomme langsam aber sicher die Krise - in 2 Wochen steht die Ana2 Klausur an und ich sitz wieder vor dem neuen Zettel und hab keine Ahnung, wie ich mit den Aufgaben anfangen soll. Zum k.... (auf gut deutsch gesagt)
Außerdem müssen wir (meine Zettelpartnerin und ich) noch 4 Punkte rausholen, die wir zur Zeit im Minus sind. Alleine werden wir das aber nicht schaffen und mit abschreiben wollen wir es nicht schaffen.
Also setzen wir auf euch und hoffen, dass ihr uns die entscheidenden Denk- und Rechenanstöße geben könnt.
Vielen Dank schonmal!
LG
Linda und Corinna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Do 29.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Linda & Corinna!
Bei dem Doppelintegral müsst ihr von innen nach außen vorgehen:
[mm]\blue{\integral_{0}^{1}}\red{\integral_{1}^{2}{x^3*\exp(-x^2*y) \ dx} \ \blue{dy}[/mm]
Beginnen wir also mit dem inneren (dem roten) Integral (zunächst unbestimmt gelöst). Dabei wird die Variable $y_$ wie eine Konstante behandelt, da wir zunächst nach $x_$ integrieren:
[mm]\red{\integral{x^3*\exp(-x^2*y) \ dx}[/mm]
Hier kommt ihr weiter mit der Substitution: $z \ := \ [mm] -x^2*y$ $\gdw$ $x^2 [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{z}{y}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ -2x*y \ = \ -2y*x$ [mm] $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ [mm] \bruch{dz}{-2y*x}$
[/mm]
Setzen wir dies nun in das rote Integral ein, erhalten wir:
[mm]\integral{x^3*\exp(-x^2*y) \ dx} \ = \ \integral{x^3*\exp(z) \ \bruch{dz}{-2y*x}} \ = \ \integral{\bruch{x^3}{-2y*x}*\exp(z) \ dz} \ = \ \integral{\bruch{x^2}{-2y}*\exp(z) \ dz}[/mm]
Nun setzen wir für [mm] $x^2$ [/mm] wieder o.g. Ausdruck mit [mm] $-\bruch{z}{y}$ [/mm] ein:
$... \ = \ [mm] \integral{\bruch{-\bruch{z}{y}}{-2y}*\exp(z) \ dz} [/mm] \ = \ [mm] +\bruch{1}{2*y^2}*\integral{z*\exp(z) \ dz}$
[/mm]
Dieses Integral ist nun mittels partieller Integration zu lösen ...
Kommt ihr mit diesen Hinweisen etwas weiter?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Lee1601 |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{1}{exp(-4y)(-2/y - 1/2y²) + exp(y)(y-1/2y² dy} [/mm] |
hallo
ich bin bei der aufgabe 1b bis hierhin gekommen (inneres integral fertig) aber das sieht so wüst aus, dass ich nicht weiter weiß. muss man da schon wieder was mit substitution machen oder hab ich mich einfach nur irgendwo verrechnet?
zu den aufgaben 2 und 3 (aus meinem ersten beitrag):
bei der einen ( wo zu zeigen ist, dass es keine injektive [mm] C^1 [/mm] Fkt gibt) habe ich mir folgendes gedacht (ich nehme aber an, dass das kein richtiger -zumind. nicht richtig aufgeschrieben - mathem beweis ist...mein optimismus lässt zu wünschen übrig ich weiß)
Bew:
1.Fall: grad f(a) = 0 für alle a [mm] \in [/mm] U
[mm] \Rightarrow [/mm] alle part. Abl. = 0 für alle a [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] f konstant [mm] \Rightarrow [/mm] f nicht injektiv
2. Fall: grad f(a) [mm] \not= [/mm] 0 für ein a [mm] \in [/mm] U
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] part Abl von f: part Abl f(a) [mm] \not= [/mm] 0 und
alle part Abl = 0 für alle [mm] a´\not= [/mm] a [mm] \in [/mm] U
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] part. Abl., die nicht stetig ist (Widerspruch zur Voraussetzung) und f nicht injektiv
[mm] \Rightarrow [/mm] Beh.
bei der anderen (wo zu zeigen ist, dass f auf M konstant ist), sieht mein "Beweis" so aus:
Bew:
grad f(a) = 0 für alle a [mm] \in [/mm] M
[mm] \Rightarrow [/mm] alle part Abl = 0 für alle a [mm] \in [/mm] M
[mm] \Rightarrow [/mm] alle part Abl konstant auf M
[mm] \Rightarrow [/mm] f konstant auf M
Was sagst du dazu? kann man das so stehen lassen oder wie würdest du die Beweise hinschreiben??
Vielen Dank schonmal!
LG
Linda
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Mo 03.07.2006 | | Autor: | DeusRa |
Hey,
die Rechnungen sind wirklich sehr wüst, sind viele uneigentliche Integrale.
Also
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{ -4y*e^{-4y}-e^{-4y}+e^{-y}*y+e^{-y} }{2y²} dy}
[/mm]
Die Lösung sollte folgendes sein:
[mm] \bruch{1}{2}*e^{-1}+\bruch{1}{2}*e^{-4}+\bruch{3}{2}.
[/mm]
Den Rest kann ich vorerst nicht beantworten.
Arbeite aber dran. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Lee1601 |
juchuh, dann war meine integration, wie ich sie zuerst gemacht hatte richtig *freu*
bei dem integral mit der maximumsnorm hatte ich mich auch schon gewundert, wie man da auf 4 kommt, also war meine rechnung auch richtig *stolzbin*
danke dir vielmals!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Do 29.06.2006 | | Autor: | DeusRa |
Tag auch,
ja, Bauers Aufgabe sind schon cool. :)
Also,
bei Aufgabe 1b) muss man eine Fallunterscheidung machen.
Da [mm] $x=\vektor{x_1 \\ x_2}$ [/mm] ist gilt ja nach der UnendlichNorm.
[mm] $||x||_\infty [/mm] := [mm] max\{|x_1|, |x_2|\}$
[/mm]
Also muss man im ersten Fall für [mm] $||x||_\infty$ [/mm] erst [mm] $|x_1|$ [/mm] setzen, im zweiten Fall [mm] $|x_2|$.
[/mm]
So, dann macht ihr die Integration wie es Loddar beschrieben hat. Also erst "innere" Integration, dann "äussere" Integration.
Es sollte in beiden Fällen als Integralwert 4 rauskommen.
Probiert es mal aus.
Gruss
DeusRa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:16 So 02.07.2006 | | Autor: | Lee1601 |
Vielen Dank schonmal euch beiden!
Zu den beiden Beweisen fällt euch auch nix ein? Naja, mal schauen, vielleicht kommt uns ja noch DIE erleuchtung.
LG
Linda
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:49 Mo 03.07.2006 | | Autor: | DeusRa |
Wenn man [mm] $|x_2|$ [/mm] wählt, kommt als Integral 0 raus und nicht 4.
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Hallo ihr beiden,
ich weiß nicht genau, wie ihr Unter-Mfen definiert habt und wie das begradigungslemma aussieht. jedenfalls müsst ihr schon etwas präziser argumentieren:
sei [mm] a\in [/mm] M gegeben.dann gibt es eine offene umgebung V von a und eine kartenfunktion [mm] $\phi:\IR^k\supset W\to \IR^n$ [/mm] mit [mm] $\phi(W)=M\cap V\ni [/mm] a$. Die abbildung [mm] $\phi:W\to \phi(W)$ [/mm] ist bijektiv, also ein diffeomorphismus.
man zeigt dann, dass f auf [mm] M\cap [/mm] V konstant ist, indem man [mm] $f\circ \phi$ [/mm] betrachtet. es gilt $grad [mm] (f\circ \phi)=grad [/mm] f [mm] \cdot D\phi=0$
[/mm]
Also ist [mm] $f\circ \phi$ [/mm] konstant, da [mm] \phi [/mm] bijektiv ist, muss f in einer umgebung von a auf M konstant sein. durch eine überdeckung von M mit sich überschneidenden kartengebieten erhält man, dass f auf ganz M konstant ist.
tut mir leid, aber einfacher kriege ich das im moment nicht argumentiert, eventuell kann euer begradigungslemma noch helfen.
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Lee1601 |
| Aufgabe | | Was ist denn dein "W"? |
vielen dank schonmal - ich glaube deine argumentation mit "PHI" ist so ähnlich wie unser Begradigunslemma.
lg
Linda
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W ist einfach ein lokales Karten (bzw. Koordinaten-) gebiet. W ist also diffeomorph zu einem kleinen Ausschnitt der U-Mf.
Gruß
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Lee1601 |
Ich danke dir vielmals!
Hab deine Argumentation auch ganz gut verstanden - wäre aber natürlich wie immer nicht selbst drauf gekommen.
LG
Linda
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