jeder Körper Hauptidealring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Mi 19.01.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Man zeige direkt, dass jeder Körper Hauptidealring und euklidisch ist. |
Es tut leid, mir fehlt hier irgendwie die Kreativität dies zu zeigen; dieser Sachverhalt ist doch irgendwie "trivial". Wie kann man dies denn dann noch in elementarere logische Aussagen zerlegen?
Ich meine, ein Blick auf die entsprechenden Axiome/Bedingungen genügt doch oder übersehe ich hier etwas Wesentliches?
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Es gilt auf jeden Fall:
1)
Jeder euklidischer Ring ist Hauptidealring!
Warum? Bzw. Hattest du das schon einmal gezeigt.
2)
Da bleibt also nur noch zu zeigen, dass ein Körper ein euklidischer Ring ist. Da sollte die Definition von "euklidischer Ring" weiterhelfen.
Ich weiß nicht was für dich mehr der Knackpunkt ist. 1) oder 2) ??
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:40 Mi 19.01.2011 | | Autor: | clemenum |
Ja, das 2) erscheint mir relativ schwierig. Das Aufschreiben der Definition des euklidischen Ringes bringt mich leider jedenfalls nicht weiter!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Mi 19.01.2011 | | Autor: | wieschoo |
Für mich wäre 1) ein wenig komplizierter.
Ich nehme dir die Schreibarbeit ab:
Ein Integritätsring R mit einer Abbildung [mm] $N:R\setminus \{0\}\to \IN$ [/mm] heißt euklidischer Ring, wenn gilt. Zu jeden Elementen [mm] $x,y\in [/mm] R [mm] ,y\neq [/mm] 0$ existieren Elemente [mm] $a,b\in [/mm] R$ mit
$x=ay+b$ wobei N(b)<N(a) oder b=0 ist.
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Mal was zu 2) (was ich nicht so tivial finde wie 1))
Sei [mm] $\alpha \subset [/mm] R$ ein Ideal. OBdA [mm] $a\neq [/mm] 0$. Man wählt ein Element [mm] $a\in \alpha [/mm] ßsetminus [mm] \{0\}$ [/mm] derart, dass N(a) minimal ist. (N=Norm-, Gradabbildung). Dann gilt [mm] $\alpha [/mm] = (a)$.
Hier muss man noch zeigen, dass jedes weitere Element b die Form $c*a$ haben muss.
zu 1) Siehe Mitteilung. Das ist doch nur Dividieren mit Rest. Wir befinden uns ja in einem Körper.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:52 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
noch eine Alternative zu wieschoos Ansatz für den ersten Teil der Aufgabe:
Zeige, dass es in einem Körper nur zwei verschiedene Ideale gibt, nämlich das Nullideal, das natürlich von der 0 erzeugt wird, und der ganze Körper selbst, der natürlich Ideal in sich selbst ist. Dieses wird von allen anderen Elementen des Körpers außer der 0 erzeugt, d.h. [mm] $\forall \:a \in K\backslash\{0\}$ [/mm] gilt: $(a) = [mm] K\:$. [/mm] Außerdem: ist [mm] $\mathfrak{a}$ [/mm] Ideal in K und [mm] $\mathfrak{a}$ [/mm] enthält ein Element außer der 0, so ist bereits [mm] $\mathfrak{a}=K$. [/mm] Mache dir klar warum das gilt, dann ist die erste Aussage gezeigt.
LG Lippel
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