k-Automorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K/k eine endliche und normale Körpererweiterung.
Dann sind äquivalent:
(i) [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] sind konjugiert
(ii) es gibt ein [mm] \sigma \in Aut_k(K):\sigma \alpha=\beta. [/mm] |
Hallo,
[mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] sind nach Definition konjugiert, wenn sie dasselbe Minimalpolynom über k haben.
(i) nach (ii): Seien also [mm] m_{\alpha}=m_{\beta} [/mm] die entsprechenden Minimalpolynome über k. Dann zerfallen die in K[X] in Linearfaktoren und zwar dieselben. Ich nenne die Nullstellen im folgenden [mm] a_1,...,a_m,\alpha,\beta. [/mm] Dann gilt [mm] Aut_k(K)\supset Aut_k(k(a_1,...,a_m,\alpha,\beta)). [/mm]
Jetzt muss ich ja irgendwie da hin, dass dieses [mm] \alpha [/mm] unter einem [mm] \sigma [/mm] auf ein [mm] \beta [/mm] abgebildet wird. Aber ich schaffe es nicht genau es zu formalisieren.
(ii) nach (i): Sei [mm] m_{\alpha} [/mm] wie oben. Dann ist es irreduzibel über k. Es gilt: [mm] f(\beta)=f(\sigma \alpha)=\sigma(f(\alpha))=0.
[/mm]
Warum darf man hier in dem einen Schritt das f und das [mm] \sigma [/mm] vertauschen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Di 21.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei K/k eine endliche und normale Körpererweiterung.
> Dann sind äquivalent:
> (i) [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] sind konjugiert
> (ii) es gibt ein [mm]\sigma \in Aut_k(K):\sigma \alpha=\beta.[/mm]
>
> [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] sind nach Definition konjugiert, wenn sie
> dasselbe Minimalpolynom über k haben.
> (i) nach (ii): Seien also [mm]m_{\alpha}=m_{\beta}[/mm] die
> entsprechenden Minimalpolynome über k. Dann zerfallen die
> in K[X] in Linearfaktoren und zwar dieselben. Ich nenne die
> Nullstellen im folgenden [mm]a_1,...,a_m,\alpha,\beta.[/mm] Dann
> gilt [mm]Aut_k(K)\supset Aut_k(k(a_1,...,a_m,\alpha,\beta)).[/mm]
Moment. Es gilt natuerlich [mm] $k(a_1, \dots, a_n, \alpha, \beta) \subseteq [/mm] K$. Aber warum sollten dann die Automorphismengruppen ineinander enthalten sein? Das ist doch totaler Quark.
Was der Fall ist: [mm] $k(a_1, \dots, a_n, \alpha, \beta)$ [/mm] ist ebenfalls normal und endlich, und jeder $k$-Automorphismus von [mm] $k(a_1, \dots, a_n, \alpha, \beta)$ [/mm] laesst sich zu einem $k$-Automorphismus von $K$ fortsetzen.
Damit musst du arbeiten, sowie damit, dass [mm] $k(a_1, \dots, a_n, \alpha, \beta)$ [/mm] normal ist. Gib doch erstmal einen $k$-Homomorphismus von [mm] $k(\alpha)$ [/mm] nach [mm] $k(\beta)$ [/mm] an. Und dann setze diesen auf einen $k$-Homomorphismus von [mm] $k(a_1, \dots, a_n, \alpha, \beta) \to \overline{k}$ [/mm] fort, wobei [mm] $\overline{k}$ [/mm] ein $K$ enthaltender alg. Abschluss von $k$ ist.
> (ii) nach (i): Sei [mm]m_{\alpha}[/mm] wie oben. Dann ist es
> irreduzibel über k. Es gilt: [mm]f(\beta)=f(\sigma \alpha)=\sigma(f(\alpha))=0.[/mm]
Es soll wohl $f = [mm] m_\alpha$ [/mm] sein!
> Warum darf man hier in dem einen Schritt das f und das
> [mm]\sigma[/mm] vertauschen?
Weil $f$ ein Polynom mit Koeffizienten in $k$ ist. Schreib doch mal $f = [mm] \sum_{i=0}^n a_i x^i$. [/mm] Was ist [mm] $\sigma(f(a)) [/mm] = [mm] \sigma( \sum_{i=0}^n a_i a^i [/mm] )$? Rechne das doch mal mit Hilfe der Eigenschaften eines Automorphismus aus.
LG Felix
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> Moin!
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> > Sei K/k eine endliche und normale Körpererweiterung.
> > Dann sind äquivalent:
> > (i) [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] sind konjugiert
> > (ii) es gibt ein [mm]\sigma \in Aut_k(K):\sigma \alpha=\beta.[/mm]
>
> >
> > [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] sind nach Definition konjugiert, wenn sie
> > dasselbe Minimalpolynom über k haben.
> > (i) nach (ii): Seien also [mm]m_{\alpha}=m_{\beta}[/mm] die
> > entsprechenden Minimalpolynome über k. Dann zerfallen die
> > in K[X] in Linearfaktoren und zwar dieselben. Ich nenne die
> > Nullstellen im folgenden [mm]a_1,...,a_m,\alpha,\beta.[/mm] Dann
> > gilt [mm]Aut_k(K)\supset Aut_k(k(a_1,...,a_m,\alpha,\beta)).[/mm]
>
> Moment. Es gilt natuerlich [mm]k(a_1, \dots, a_n, \alpha, \beta) \subseteq K[/mm].
> Aber warum sollten dann die Automorphismengruppen
> ineinander enthalten sein? Das ist doch totaler Quark.
>
> Was der Fall ist: [mm]k(a_1, \dots, a_n, \alpha, \beta)[/mm] ist
> ebenfalls normal und endlich, und jeder [mm]k[/mm]-Automorphismus
> von [mm]k(a_1, \dots, a_n, \alpha, \beta)[/mm] laesst sich zu einem
> [mm]k[/mm]-Automorphismus von [mm]K[/mm] fortsetzen.
>
> Damit musst du arbeiten, sowie damit, dass [mm]k(a_1, \dots, a_n, \alpha, \beta)[/mm]
> normal ist.
Warum ist das überhaupt so? Also wenn L ein Zwischenkörper von K/k ist, dann ist mir klar, dass K/L normal ist. Aber warum L/k. Wenn ein Minimalpolynom von a über k die Zerlegung im normalen Körper K (X-a)(X-b)(X-c) hätte, dann würde es doch in k(a) nicht in Linearfaktoren zerfallen.
> Gib doch erstmal einen [mm]k[/mm]-Homomorphismus von
> [mm]k(\alpha)[/mm] nach [mm]k(\beta)[/mm] an. Und dann setze diesen auf einen
> [mm]k[/mm]-Homomorphismus von [mm]k(a_1, \dots, a_n, \alpha, \beta) \to \overline{k}[/mm]
> fort, wobei [mm]\overline{k}[/mm] ein [mm]K[/mm] enthaltender alg. Abschluss
> von [mm]k[/mm] ist.
>
Wenn ich einen k-Automorphismus von [mm] k(\alpha)\rightarrow k(\beta) [/mm] nehme, dann bleibt doch als Fortsetzung nur noch übrig, dass ich [mm] \alpha\mapsto \beta [/mm] setze oder? Die Minimalpolynome sind gleich, also sind die Körpererweiterungen vom gleichen Grad. Es mag sein, dass das alles falsch ist, aber dann müsste ich nur noch sagen, warum diese Abbildung in [mm] Aut_k(K) [/mm] enthalten ist.
Wenn ich also k-Homomorphismen [mm] k(a_1,..,a_n,\alpha,\beta) [/mm] nach [mm] \overline{K} [/mm] betrachte, bleibt mir als Fortsetzungsmöglichkeit nur noch die Wahl, dass ich die Nullstellen des Minimalpolynoms irgendwohin abbilde. Bei Automorphismen von [mm] \overline{K} [/mm] muss ich also Nullstellen auf Nullstellen abbilden.
Aber rein formal kann ich es nicht aufschreiben, vorausgesetzt es stimmt überhaupt.
> > (ii) nach (i): Sei [mm]m_{\alpha}[/mm] wie oben. Dann ist es
> > irreduzibel über k. Es gilt: [mm]f(\beta)=f(\sigma \alpha)=\sigma(f(\alpha))=0.[/mm]
>
> Es soll wohl [mm]f = m_\alpha[/mm] sein!
>
> > Warum darf man hier in dem einen Schritt das f und das
> > [mm]\sigma[/mm] vertauschen?
>
> Weil [mm]f[/mm] ein Polynom mit Koeffizienten in [mm]k[/mm] ist. Schreib doch
> mal [mm]f = \sum_{i=0}^n a_i x^i[/mm]. Was ist [mm]\sigma(f(a)) = \sigma( \sum_{i=0}^n a_i a^i )[/mm]?
> Rechne das doch mal mit Hilfe der Eigenschaften eines
> Automorphismus aus.
>
> LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:36 Mi 22.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] sind nach Definition konjugiert, wenn sie
> > > dasselbe Minimalpolynom über k haben.
> > > (i) nach (ii): Seien also [mm]m_{\alpha}=m_{\beta}[/mm] die
> > > entsprechenden Minimalpolynome über k. Dann zerfallen die
> > > in K[X] in Linearfaktoren und zwar dieselben. Ich nenne die
> > > Nullstellen im folgenden [mm]a_1,...,a_m,\alpha,\beta.[/mm] Dann
> > > gilt [mm]Aut_k(K)\supset Aut_k(k(a_1,...,a_m,\alpha,\beta)).[/mm]
> >
> > Damit musst du arbeiten, sowie damit, dass [mm]k(a_1, \dots, a_n, \alpha, \beta)[/mm]
> > normal ist.
>
> Warum ist das überhaupt so? Also wenn L ein
> Zwischenkörper von K/k ist, dann ist mir klar, dass K/L
> normal ist. Aber warum L/k.
Das ist nicht umbedingt der Fall, das haengt von $L$ ab. Aber hier ist $L$ der Zerfaellungskoerper von [mm] $m_\alpha [/mm] = [mm] m_\beta$! [/mm] Und Zerfaellungskoerper sind immer normal.
> Wenn ein Minimalpolynom von a
> über k die Zerlegung im normalen Körper K (X-a)(X-b)(X-c)
> hätte, dann würde es doch in k(a) nicht in Linearfaktoren
> zerfallen.
In $k(a)$ nicht umbedingt, aber hier ist $L = [mm] k(a_1, \dots, a_n, \alpha, \beta)$, [/mm] und damit hat man alle Nullstellen von [mm] $m_\alpha [/mm] = [mm] m_\beta \in [/mm] k[x]$.
> > Gib doch erstmal einen [mm]k[/mm]-Homomorphismus von
> > [mm]k(\alpha)[/mm] nach [mm]k(\beta)[/mm] an. Und dann setze diesen auf einen
> > [mm]k[/mm]-Homomorphismus von [mm]k(a_1, \dots, a_n, \alpha, \beta) \to \overline{k}[/mm]
> > fort, wobei [mm]\overline{k}[/mm] ein [mm]K[/mm] enthaltender alg. Abschluss
> > von [mm]k[/mm] ist.
> >
> Wenn ich einen k-Automorphismus von [mm]k(\alpha)\rightarrow k(\beta)[/mm]
> nehme, dann bleibt doch als Fortsetzung nur noch übrig,
> dass ich [mm]\alpha\mapsto \beta[/mm] setze oder? Die
> Minimalpolynome sind gleich, also sind die
> Körpererweiterungen vom gleichen Grad.
Ja. Das liefert dir einen kanonischen Isomorphismus [mm] $k(\alpha) \to k(\beta)$, [/mm]
> Es mag sein, dass
> das alles falsch ist, aber dann müsste ich nur noch sagen,
> warum diese Abbildung in [mm]Aut_k(K)[/mm] enthalten ist.
Warum sollte ein Isomorphismus [mm] $k(\alpha) \to k(\beta)$ [/mm] ein Automorphismus von $K$ sein?!??
Du kannst ihn zu einem Automorphismus fortsetzen, aber dazu musst du noch etwas argumentieren! (Und du brauchst umbedingt, dass $K/k$ normal ist!)
> Wenn ich also k-Homomorphismen [mm]k(a_1,..,a_n,\alpha,\beta)[/mm]
> nach [mm]\overline{K}[/mm] betrachte, bleibt mir als
> Fortsetzungsmöglichkeit nur noch die Wahl, dass ich die
> Nullstellen des Minimalpolynoms irgendwohin abbilde. Bei
> Automorphismen von [mm]\overline{K}[/mm] muss ich also Nullstellen
> auf Nullstellen abbilden.
Guck mal in euer Skript, ihr habt doch sicher irgendeinen Satz, der etwas ueber die Fortsetzbarkeit von Homomorphismen in Koerper oder algebraisch abgeschlossene Koerper sagt.
Da wird dann die ganze technische Kleinarbeit erledigt.
LG Felix
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