k bestimmen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Mi 21.03.2012 | | Autor: | MirjamKS |
| Aufgabe | Bestimme k so, dass die von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossene Fläche den Inhalt A hat.
[mm] f(x)=x^2, g(x)=-x^2 [/mm] + k , A=1 |
N'abend zusammen.
Nun habe ich die beiden Funktionen gleich gesetzt.
Das wäre dann: [mm] 2x^2 [/mm] - k = 0
Da habe ich dann die Nullstellen berechnet:
x=0 und x=k
Nun also:
A= [mm] \integral_{0}^{k}{x^2 dx} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{k}{-x^2 + k dx}
[/mm]
A= [mm] \bruch{1}{3} k^3 [/mm] - (- [mm] \bruch{1}{3} x^3 [/mm] +k)
A= [mm] \bruch{2}{3} k^3 [/mm] - k
Nun setze ich das mit 1 gleich.
[mm] \bruch{2}{3} k^3 [/mm] - k=1
Nur wie löse ich jetzt die Gleichung nach k auf bzw wie löse ich die Aufgabe?
Würde mich über baldige Antwort freuen :)
Mfg Miri
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Hallo MirjamKS,
> Bestimme k so, dass die von den Graphen der Funktionen f
> und g eingeschlossene Fläche den Inhalt A hat.
>
> [mm]f(x)=x^2, g(x)=-x^2[/mm] + k , A=1
> N'abend zusammen.
>
> Nun habe ich die beiden Funktionen gleich gesetzt.
> Das wäre dann: [mm]2x^2[/mm] - k = 0
>
> Da habe ich dann die Nullstellen berechnet:
> x=0 und x=k
>
Hier sind doch die Schnittpunkte von f und g zu berechnen.
> Nun also:
>
> A= [mm]\integral_{0}^{k}{x^2 dx}[/mm] - [mm]\integral_{0}^{k}{-x^2 + k dx}[/mm]
>
> A= [mm]\bruch{1}{3} k^3[/mm] - (- [mm]\bruch{1}{3} x^3[/mm] +k)
> A= [mm]\bruch{2}{3} k^3[/mm] - k
>
> Nun setze ich das mit 1 gleich.
> [mm]\bruch{2}{3} k^3[/mm] - k=1
>
> Nur wie löse ich jetzt die Gleichung nach k auf bzw wie
> löse ich die Aufgabe?
>
> Würde mich über baldige Antwort freuen :)
>
> Mfg Miri
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mi 21.03.2012 | | Autor: | MirjamKS |
Wie warum denn das?
Ich muss doch die gemeinsamen Schnittpunkte errechnen oder nicht?
Also so haben wir das in der Schule mit den andren Teilaufgaben auch gemacht.
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Hallo MirjamKS,
> Wie warum denn das?
Weil die von den Graphen f und g eingeschlossene Fläch zu berechnen ist.
> Ich muss doch die gemeinsamen Schnittpunkte errechnen oder
> nicht?
Ja, das ist richtig.
Schneide demnach f mit g.
> Also so haben wir das in der Schule mit den andren
> Teilaufgaben auch gemacht.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Mi 21.03.2012 | | Autor: | MirjamKS |
Naja jedenfalls hab ich für f(x) die Nullstelle x=0 raus und für g(x) die Nullstelle [mm] x=\wurzel{k}.
[/mm]
Ist das richtig?
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Hallo MirjamKS,
> Naja jedenfalls hab ich für f(x) die Nullstelle x=0 raus
> und für g(x) die Nullstelle [mm]x=\wurzel{k}.[/mm]
> Ist das richtig?
Die Nullstelle von f ist richtig.
Die Nullstellen von g sind nur richtig, falls [mm]k [mm] \ge [/mm] 0[/nmm] ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Mi 21.03.2012 | | Autor: | MirjamKS |
Okay, dann müsste ich das demnach also auch als Bedingung dahinschreiben.
Aber was mache ich jetzt mit dieser Information?
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Hallo MirjamKS,
> Okay, dann müsste ich das demnach also auch als Bedingung
> dahinschreiben.
> Aber was mache ich jetzt mit dieser Information?
>
Nun, für [mm]k \ge 0[/mm] gibt es Schnittpunkte von f mit g.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Mi 21.03.2012 | | Autor: | MirjamKS |
Okay, danke :)
Aber ich weiß ja immer noch nicht wie ich jetzt die Aufgabe gelöst bekomme.
Weil die gemeinsamen Punkte waren ja x=0 und x=k wobei [mm] k\ge [/mm] 0 sein muss.
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Hallo MIrjamKS,
> Okay, danke :)
> Aber ich weiß ja immer noch nicht wie ich jetzt die
> Aufgabe gelöst bekomme.
> Weil die gemeinsamen Punkte waren ja x=0 und x=k wobei
> [mm]k\ge[/mm] 0 sein muss.
Es sind nicht die Nullstellen, die die Integrattionsgrenzen darstellen,
sondern die Schnittpunkte von f mit g.
Mach Dir dazu am besten eine Skizze für k=0,1,2, ...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mi 21.03.2012 | | Autor: | MirjamKS |
Wozu musste ich denn dann die Nullstellen der einzelnen Funktionen ausrechnen? Tschuldige aber ich verstehe das noch nicht ganz. :/
Ich habe doch direkt zu anfang alles ausgerechnet, meine Frage war nur wie ich die Gleichung am Ende so zurechtgebogen bekomme, dass man nach k auflösen kann.
Lg miri
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Hallo MirjamKS,
> Wozu musste ich denn dann die Nullstellen der einzelnen
> Funktionen ausrechnen? Tschuldige aber ich verstehe das
> noch nicht ganz. :/
>
Die Nullstellen von f ung sind nicht auszurechnen.
Vielmehr sind die Nullstellen der Differenzfunktion f-g auszurechnen.
> Ich habe doch direkt zu anfang alles ausgerechnet, meine
> Frage war nur wie ich die Gleichung am Ende so
> zurechtgebogen bekomme, dass man nach k auflösen kann.
>
Dazu sind die Nullstellen der Funktion f-g richtig zu berechnen.
Nach der Integration und einsetzen der Integrationsgrenzen
bekommst Du einen einfachen Ausdruck für k, der auch nach
k aufgelöst werden kann.
> Lg miri
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Mi 21.03.2012 | | Autor: | MirjamKS |
Aber du meintest doch eben man muss erstmal die einzelnen Nullstellen ausrechnen? Also der einzelnen Funktionen. Naja vergessen wir das
Achsoo war das nicht richtig mit x=0 und x=k ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mirjam!
> Aber du meintest doch eben man muss erstmal die einzelnen
> Nullstellen ausrechnen? Also der einzelnen Funktionen.
Das wurde nie behauptet, dass dies hier gemacht werden muss. Du hast es einfach berechnet.
> Achsoo war das nicht richtig mit x=0 und x=k ?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du hattest dich völlig richtig begonnen mit:
$f(x) \ = \ [mm] g_k(x)$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] \ \ [mm] 2x^2-k [/mm] \ = \ 0$
Allerdings war dann der Schluss auf Deine Lösungen (= Schnittstellen der beiden Funktionen) falsch.
Teile die Gleichung zunächst durch $2_$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Mi 21.03.2012 | | Autor: | MirjamKS |
[mm] 2x^2 [/mm] - k = 0 geteilt durch 2
[mm] x^2 [/mm] - [mm] \bruch{k}{2} [/mm] = 0
und dann [mm] x*(x-\bruch{k}{2})
[/mm]
x= 0 und x= [mm] \bruch{k}{2}
[/mm]
Ups, also sind die nullstellen: x1=0 und [mm] x2=\bruch{k}{2}
[/mm]
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mirjam!
Zum einen: Du berechnest hier nicht die Nullstellen, sondern die Schnittstellen der beiden gegebenen Funktionen!
Zum anderen: wie kannst Du aus [mm] $\bruch{k}{2}$ [/mm] ein $x_$ ausklammern und dann wieder [mm] $\bruch{k}{2}$ [/mm] erhalten?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Mi 21.03.2012 | | Autor: | MirjamKS |
Tschuldige, aber bin grade total durch den Wind weil ich morgen die Klausur schreibe.
Kannst du mir bitte helfen?
Also mir sagen wie man da die Schnittpunkte und wie man die Nullstellen ausrechnet? Iwie bin ich momentan etwas schwer von Verstand.
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Hallo MirjamKS,
> Tschuldige, aber bin grade total durch den Wind weil ich
> morgen die Klausur schreibe.
> Kannst du mir bitte helfen?
> Also mir sagen wie man da die Schnittpunkte und wie man
> die Nullstellen ausrechnet? Iwie bin ich momentan etwas
> schwer von Verstand.
Die Schnittpunkte ergeben sich als Lösungen x der Gleichung
[mm]x^{2}-\left(-x^{2}+k\right)=0[/mm]
bzw.
[mm]2x^{2}-k=0[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Mi 21.03.2012 | | Autor: | MirjamKS |
Aber mit y=0 berechnet man doch auch die Nullstellen. Also berechnet man damit doch die gemeinsamen Schnittpunkte und Nullstellen oder nicht?
[mm] 2x^2 [/mm] - k = 0 geteilt durch 2
[mm] x^2 [/mm] - [mm] \bruch{k}{2} [/mm] = 0
pq Formel: p = - [mm] \bruch{k}{2} [/mm] q=0
da hab ich dann am ende raus: [mm] x1=\bruch{3k}{4}
[/mm]
und x2=- [mm] \bruch{k}{4}
[/mm]
Ist das so richtig?
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Hallo MirjamKS,
> Aber mit y=0 berechnet man doch auch die Nullstellen. Also
> berechnet man damit doch die gemeinsamen Schnittpunkte und
> Nullstellen oder nicht?
>
> [mm]2x^2[/mm] - k = 0 geteilt durch 2
> [mm]x^2[/mm] - [mm]\bruch{k}{2}[/mm] = 0
>
> pq Formel: p = - [mm]\bruch{k}{2}[/mm] q=0
>
Probier es mal mit p=0, [mm]q=-\bruch{k}{2}[/mm],
denn es ist kein linearer Summand vorhanden,
somit ist p=0.
> da hab ich dann am ende raus: [mm]x1=\bruch{3k}{4}[/mm]
> und x2=- [mm]\bruch{k}{4}[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Grus
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Mi 21.03.2012 | | Autor: | MirjamKS |
Okay dann kommt da raus [mm] x1=\wurzel{\bruch{k}{2}}
[/mm]
oder?
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Hallo MirjamKS,
> Okay dann kommt da raus [mm]x1=\wurzel{\bruch{k}{2}}[/mm]
> oder?
Zwei Lösungen: [mm]x_{1,2}=\pm \wurzel{\bruch{k}{2}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Zwischen diesen Grenzen integrierst Du jetzt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Mi 21.03.2012 | | Autor: | MirjamKS |
aah stimmt, daanke :)
Dann teile ich das aber lieber nochmal und rechne das am ende mal 2
A= [mm] \integral_{0}^{\wurzel{\bruch{k}{2}}}{-x^2 + k dx} [/mm] -
[mm] \integral_{0}^{\wurzel{\bruch{k}{2}}}{x^2 dx}
[/mm]
Soweit richtig?
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Hallo MirjamKS,
> aah stimmt, daanke :)
>
> Dann teile ich das aber lieber nochmal und rechne das am
> ende mal 2
>
> A= [mm]\integral_{0}^{\wurzel{\bruch{k}{2}}}{-x^2 + k dx}[/mm] -
> [mm]\integral_{0}^{\wurzel{\bruch{k}{2}}}{x^2 dx}[/mm]
>
Dann musst Du aber [mm]A=\bruch{1}{2}[/mm] setzen,
weil die Graphen symmetrisch zur y-Achse sind.
> Soweit richtig?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Mi 21.03.2012 | | Autor: | MirjamKS |
Also am Ende einfach 2*A oder nicht?
Naja jedenfalls muss man das ja hochleiten, das wäre:
A= [mm] (-\bruch{1}{3} x^3 [/mm] + k) - [mm] (\bruch{1}{3} x^3)
[/mm]
= [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] * [mm] (\wurzel{\bruch{k}{2}})^3 [/mm] + k - [mm] (\bruch{1}{3} [/mm] * [mm] (\wurzel{\bruch{k}{2}})^3)[/mm]
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Hallo MirjamKS,
> Also am Ende einfach 2*A oder nicht?
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2A ([mm]A=\bruch{1}{2}[/mm]) für das Intervall [mm]\left[-\wurzel{\bruch{k}{2}},\wurzel{\bruch{k}{2}}\right][/mm]
> Naja jedenfalls muss man das ja hochleiten, das wäre:
>
> A= [mm](-\bruch{1}{3} x^3[/mm] + k) - [mm](\bruch{1}{3} x^3)[/mm]
Das ist nicht ganz richtig:
A= [mm](-\bruch{1}{3} x^3[/mm] + [mm] k\red{x}) [/mm] - [mm](\bruch{1}{3} x^3)[/mm]
> =
> [mm]-\bruch{1}{3}[/mm] * [mm](\wurzel{\bruch{k}{2}})^3[/mm] + k -
> [mm](\bruch{1}{3}[/mm] * [mm](\wurzel{\bruch{k}{2}})^3)[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Mi 21.03.2012 | | Autor: | MirjamKS |
Oh stimmt.
also: A= - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] (\wurzel{\bruch{k}{2}})^3 [/mm] + k * [mm] \wurzel{\bruch{k}{2}} [/mm] - [mm] (\bruch{1}{3} [/mm] * [mm] (\wurzel{\bruch{k}{2}})^3)
[/mm]
Wie rechnet man denn so einen Salat aus?
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Hallo MirjamKS,
> Oh stimmt.
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> also: A= - [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm](\wurzel{\bruch{k}{2}})^3[/mm] + k *
> [mm]\wurzel{\bruch{k}{2}}[/mm] - [mm](\bruch{1}{3}[/mm] *
> [mm](\wurzel{\bruch{k}{2}})^3)[/mm]
>
> Wie rechnet man denn so einen Salat aus?
Versuche gemeinsame Faktoren herauszuziehen.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:07 Mi 21.03.2012 | | Autor: | MirjamKS |
Ich glaube ich lasse es für heute sein, mein Kopf explodiert gleich.
Ich probiers morgen nochmal, auch wenn es dann zu spät it. :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Mi 21.03.2012 | | Autor: | chrisno |
Das Bild könnte helfen. Hast Du es Dir selbst auch gezeichnet? Für k = 1[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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