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Ein Beweis den ich nicht verstehe. Der Satz lautet wie folgt: Wir betrachten den Integritätsbereich [mm] R_{n} [/mm] : = { [mm] \bruch{a+b\wurzel{n}}{2} [/mm] | a,b [mm] \in \IZ; [/mm] a [mm] \equiv [/mm] b(mod2) }. Sei n<3 und n [mm] \equiv [/mm] 1(mod4). Weiterhin gelte eine der folgenden Bedingungen:
1) [mm] \bruch{1+|n|}{4} [/mm] ist keine Primzahl
2) |n| besitzt einen Primteiler p< [mm] \bruch{1+|n|}{4}.
[/mm]
Dann ist [mm] R_{n} [/mm] kein ZPE-Ring.
Und nun der Beweis den ich nicht verstehe: Nach Voraussetzung existiert eine Primzahl p< [mm] \bruch{1+|n|}{4} [/mm] (soweit noch klar). Wegen [mm] N(a+b\bruch{1+\wurzel{n}}{2}) [/mm] = [mm] (a+\bruch{b}{2})^{2}+|n|*\bruch{b^{2}}{4} [/mm] ist p nie Norm eines Elements aus [mm] R_{n}. [/mm] ich verstehe nicht, wie man von der Darstellung von [mm] R_{n} [/mm] oben zu der Darstellung in der Normabbildung kommt und wieso p dann nie diese Norm annehmen kann! Also p in [mm] R_{n} [/mm] unzerlegbar (das ist mit dem Vorwissen, welches ich nicht verstehe, dann klar). Der Rest ist dann, wie ich grad feststelle eigentlich auch klar, mir fehlt also nur der Schluss auf die Noramabbildung und die Primzahl p.
Ich weiß, ich stell im Moment echt viele Fragen, aber ich muss einen Vortrag halten und ab Dienstag ist dann erstmal Schluss mit fragen. Ich danke allen, die mir helfen können.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 So 11.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Nora!
> Ein Beweis den ich nicht verstehe. Der Satz lautet wie
> folgt: Wir betrachten den Integritätsbereich [mm]R_{n} : = \{ \bruch{a+b\wurzel{n}}{2} \mid a,b \in \IZ; a \equiv b(mod2) \}[/mm].
> Sei n<3 und n [mm]\equiv[/mm] 1(mod4). Weiterhin gelte eine der
> folgenden Bedingungen:
> 1) [mm]\bruch{1+|n|}{4}[/mm] ist keine Primzahl
> 2) |n| besitzt einen Primteiler p< [mm]\bruch{1+|n|}{4}.[/mm]
> Dann ist [mm]R_{n}[/mm] kein ZPE-Ring.
>
> Und nun der Beweis den ich nicht verstehe: Nach
> Voraussetzung existiert eine Primzahl p< [mm]\bruch{1+|n|}{4}[/mm]
> (soweit noch klar). Wegen [mm]N(a+b\bruch{1+\wurzel{n}}{2})[/mm] =
> [mm](a+\bruch{b}{2})^{2}+|n|*\bruch{b^{2}}{4}[/mm] ist p nie Norm
> eines Elements aus [mm]R_{n}.[/mm] ich verstehe nicht, wie man von
> der Darstellung von [mm]R_{n}[/mm] oben zu der Darstellung in der
> Normabbildung kommt und wieso p dann nie diese Norm
> annehmen kann!
Erstmal: $a + b [mm] \frac{1 + \sqrt{n}}{2} [/mm] = (a + b/2) + (b/2) [mm] \sqrt{n}$. [/mm] Die Norm von $x + y [mm] \sqrt{n}$ [/mm] mit $x, y [mm] \in \IQ$ [/mm] ist nun [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] |n|$ (das ist bei euch wohl so definiert), womit die Norm von $a + b [mm] \frac{1 + \sqrt{n}}{2} [/mm] = (a + b/2) + (b/2) [mm] \sqrt{n}$ [/mm] gerade $(a + [mm] b/2)^2 [/mm] + [mm] (b/2)^2 [/mm] |n| = (a + [mm] b/2)^2 [/mm] + |n| [mm] b^2/4$ [/mm] ist.
So. Angenommen es gibt $a, b [mm] \in \IZ$ [/mm] mit [mm] $a^2 [/mm] + 2 ab + [mm] b^2 \frac{1 + |n|}{4} [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + a b + [mm] b^2/4 [/mm] + [mm] b^2/4 [/mm] |n| = N(a + b [mm] \frac{1 + \sqrt{n}}{2}) [/mm] = p$. Man hat zwei Faelle: $b = 0$ und $b [mm] \neq [/mm] 0$.
Ist $b = 0$, so gilt [mm] $a^2 [/mm] = p$, was aber nicht sein kann wenn $a [mm] \in \IZ$ [/mm] sein soll (da Primzahlen irreduzibel sind). Also kann nicht $b = 0$ sein.
Also sei $b [mm] \neq [/mm] 0$. Dann gilt $p < [mm] \frac{1 + |n|}{4} \le b^2 \frac{1 + |n|}{4}$. [/mm] Wenn also [mm] $a^2 [/mm] + a b [mm] \ge [/mm] 0$, dann gilt $p = [mm] (a^2 [/mm] + 2 ab) + [mm] b^2 \frac{1 + |n|}{4} \ge b^2 \frac{1 + |n|}{4} [/mm] > p$, ein Widerspruch. Also muss [mm] $a^2 [/mm] + a b < 0$ sein.
Nun ist $(a + [mm] b/2)^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + a b + [mm] b^2/4 \ge [/mm] 0$, also $0 [mm] \ge a^2 [/mm] + a b [mm] \ge -b^2/4$. [/mm] Daraus folgt $p = [mm] a^2 [/mm] + 2 ab + [mm] b^2 \frac{1 + |n|}{4} \ge -b^2/4 [/mm] + [mm] b^2 \frac{1 + |n|}{4} [/mm] > [mm] -b^2/4 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] p = [mm] b^2 [/mm] (p - 1/4)$, also [mm] $\frac{p}{p - 1/4} [/mm] > [mm] b^2$. [/mm] Es gilt jedoch [mm] $\frac{p}{p - 1/4} [/mm] < 2$, womit [mm] $b^2 [/mm] = 1$ sein muss. Dann ist jedoch [mm] $a^2 [/mm] + a b = [mm] a^2 \pm [/mm] a$, was jedoch nicht kleiner 0 sein kann. Also ein Widerspruch.
Damit ist die Annahme, dass es solche $a, b [mm] \in \IZ$ [/mm] gibt, falsch.
> Also p in [mm]R_{n}[/mm] unzerlegbar (das ist mit dem
> Vorwissen, welches ich nicht verstehe, dann klar).
Nun: wenn $p$ zerlegbar waer, dann koennte man $p = a b$ schreiben mit $a, b [mm] \in R_n$, [/mm] $a, b [mm] \not\in R_n^\ast$, [/mm] und es gilt [mm] $p^2 [/mm] = N(p) = N(a) N(b)$. Wenn $N(a) = 1$ oder $N(b) = 1$ gilt, folgt $a [mm] \in R^\ast$ [/mm] bzw. $b [mm] \in R^\ast$ [/mm] (das muss man sich noch ueberlegen); also muss $N(a) = N(b) = p$ sein. Aber nach dem obigen gibt es solche $a, b$ nicht, womit $p$ unzerlegbar ist.
LG Felix
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Nur noch eine kurze Nachfrage: Wie kommt man von der Darstellung von [mm] R_{n} [/mm] zu der Darstellung in der Normabbildung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 So 11.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Nur noch eine kurze Nachfrage: Wie kommt man von der
> Darstellung von [mm]R_{n}[/mm] zu der Darstellung in der
> Normabbildung?
Du hast [mm] $\frac{a + b \sqrt{n}}{2} \in R_n$ [/mm] mit $a, b [mm] \in \IZ$, [/mm] $a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \pmod{2}$.
[/mm]
Damit muss der zweite Teil der Darstellung $b [mm] \frac{1 + \sqrt{n}}{2}$ [/mm] sein. Der erste Teil muss jetzt so gewaehlt sein, dass $(...) + b [mm] \frac{1 + \sqrt{n}}{2} [/mm] = [mm] \frac{a + b \sqrt{n}}{2}$ [/mm] ist. Wie man $(...)$ bestimmt musst du dir jetzt selber ueberlegen.
LG Felix
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Ich komme dann auf [mm] \bruch{a-b}{2}+b*\bruch{1+\wurzel{n}}{2}, [/mm] aber [mm] \bruch{a-b}{2} [/mm] ist doch nicht gleich a.
Überseh ich was?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Mo 12.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ich komme dann auf
> [mm]\bruch{a-b}{2}+b*\bruch{1+\wurzel{n}}{2},[/mm] aber
> [mm]\bruch{a-b}{2}[/mm] ist doch nicht gleich a.
> Überseh ich was?
Der gleiche Buchstabe kann manchmal auch verschiedene Dinge kennzeichnen. Ich habe absichtlich $(...)$ geschrieben und nicht $a$.
LG Felix
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Also bezeichne ich dann [mm] \bruch{a-b}{2} [/mm] mit a, weil beides Elemente von [mm] \IZ [/mm] sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:48 Mo 12.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also bezeichne ich dann [mm]\bruch{a-b}{2}[/mm] mit a, weil beides
> Elemente von [mm]\IZ[/mm] sind?
Nein, du nennst es $a'$.
Dann hast du fuer $x = [mm] \frac{a + b \sqrt{n}}{2} \in R_n$, [/mm] dass $x = a' + b [mm] \frac{1 + \sqrt{n}}{2}$ [/mm] ist mit $a' = [mm] \frac{a - b}{2}$.
[/mm]
LG Felix
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