ker(a)=ker(a^t) < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei A [mm] \in M_{n,n} (\IC) [/mm] eine Matrix die [mm] \overline{A}^{t}A=A \overline{A}^{t} [/mm] erfüllt.
Zeigen Sie, dass [mm] ker(A)=ker(\overline{A}^{t}) [/mm] |
Hallo
zu der aufgabe fällt mir nur ein, dass ich ja [mm] (\overline{Av}^{t})(Av) [/mm] mainpulieren könnte...nur weiß ich nicht so ganz wie ich das machen soll.
das überm A soll ne "schlange" und ein t sein...nur damit es keine verwirrungen gibt^^
danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Mi 20.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es sei A [mm]\in M_{n,n} (\IC)[/mm] eine Matrix die
> [mm]\overline{A}^{t}A=A \overline{A}^{t}[/mm] erfüllt.
>
> Zeigen Sie, dass [mm]ker(A)=ker(\overline{A}^{t})[/mm]
> Hallo
>
> zu der aufgabe fällt mir nur ein, dass ich ja
> [mm](\overline{Av}^{t})(Av)[/mm] mainpulieren könnte...nur weiß ich
> nicht so ganz wie ich das machen soll.
>
> das überm A soll ne "schlange" und ein t sein...nur damit
> es keine verwirrungen gibt^^
>
> danke
Ich bezeichne mal [mm] \overline{A}^{t} [/mm] mit A*, die euklidische Norm auf [mm] \IC^{n \times n} [/mm] mit $||*||$ und mit $<*,*>$ das Skalarprodukt.
Dann gilt für jedes x [mm] \in \IC^n:
[/mm]
[mm] ||Ax||^2 [/mm] = <Ax,Ax> = <A*Ax,x> = <AA*x,x> = <A*x,A*x> = ||A*x||²
Daraus folgt insbesondere das, was Du zeigen sollst.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 Mi 20.05.2009 | | Autor: | JackLondon |
Wir sollen dass aber ohne skalarprodukt zeigen, durch manipulation des ausdrucks oben
|
|
|
| |
|
[mm] (\overline{Av})^{t} [/mm] Av
= [mm] v^{t} \overline{A}^{t} [/mm] Av
= [mm] v^{t} [/mm] A [mm] \overline{A}^{t}v [/mm] (nach voraussetzung)
aber ich weiß jetzt nicht wirklich wie ich da weitermachen soll/ was mir das bringt
|
|
|
| |
|
> [mm](\overline{Av})^{t}[/mm] Av
>
> = [mm]v^{t} \overline{A}^{t}[/mm] Av
>
> = [mm]v^{t}[/mm] A [mm]\overline{A}^{t}v[/mm] (nach voraussetzung)
>
> aber ich weiß jetzt nicht wirklich wie ich da weitermachen
> soll/ was mir das bringt
>
>
Hallo,
wenn Du das nicht mit Freds Skalarproduktklammern lösen möchtest, kannst Du es etwas haus(ge)backener auch so tun:
Überlege Dir erstmal für [mm] v\in \IC^n, [/mm] was [mm] \overline{v}^{T}v [/mm] ergibt, und was Du schließen kannst, wenn Du [mm] \overline{v}^{T}v=0 [/mm] erhältst.
(Das hatten wir doch grad vor ein paar Tagen, nech?)
Danach geht's richtig los.
Sei [mm] x\in [/mm] Kern A.
Dann ist
[mm] 0=\overline{(Ax)}^{T}(Ax)
[/mm]
[mm] =\overline{x}^{T} \overline{A}^{T}Ax
[/mm]
= ...
[mm] =\overline{(\overline{A}^{T}x)}^{T}(\overline{A}^{T}x),
[/mm]
also ...
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
okay okay das war ja recht einfach aber wie kann ich denn daraus folgern, dass
der Eigenvektor v zum Eigenwert von A ebenfalls ein Eigenvektor zum
Eigenwert [mm] \overline{\lambda} [/mm] von [mm] \overline{A}^{t}ist??
[/mm]
|
|
|
| |
|
> okay okay das war ja recht einfach aber wie kann ich denn
> daraus folgern, dass
>
> der Eigenvektor v zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von A ebenfalls ein
> Eigenvektor zum
> Eigenwert [mm]\overline{\lambda}[/mm] von [mm]\overline{A}^{t}ist??[/mm]
Hallo,
hast Du schon drüber nachgedacht?
Wenn v ein Eigenvektor von A zum EW [mm] \lambda [/mm] ist, dann ist [mm] Av=\lambda [/mm] v <==> [mm] (A-\lambda [/mm] E)v=0.
Und nun???
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
ja analog kann man das ja für den komplexen wert machen und man weiß auch dass die kerne gleich sind? aber wie muss ich das denn jetzt zusammensetzen?
|
|
|
| |
|
> ja analog kann man das ja für den komplexen wert machen und
> man weiß auch dass die kerne gleich sind? aber wie muss ich
> das denn jetzt zusammensetzen?
Hallo,
aus dem, was ich geschreiben habe, liest Du ab, daß [mm] v\in Kern(A-\lambda [/mm] E) .
In welchem Kern ist v dann folglich auch?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
du meinst im kern von [mm] (A-\lambda*Id) [/mm] oder?
|
|
|
| |
|
> du meinst im kern von [mm](A-\lambda*Id)[/mm] oder?
Ja, klar.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
