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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 Di 08.01.2013 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | Es sei f:G [mm] \rightarrow [/mm] H ein Gruppenhomomorphismus, [mm] e_{G} [/mm] und [mm] e_{H} [/mm] seien die neutralen Elemente von G bzw. H.
Der Kern von f ist definiert als
Ker f := { g [mm] \in [/mm] G | f(g) = [mm] e_{H} [/mm] }
Das Bild von f ist
Im f := f(G)= {f(g) [mm] \in [/mm] H | g [mm] \in [/mm] G} |
Das ist die Definition. Das folgende Beispiel zur Definition verstehe ich nicht ganz. Ich habe mit rot meine Fragen editiert.
Es sei H:=C[a,b] := {f:[a,b] [mm] \rightarrow \IR [/mm] | f ist stetig}.
heißt dass, das die Menge H per Definition die Menge C ist, die ein geschlossenes Intervall von a nach b ist? Dann wird die Menge C als stetige Abbildung auf [mm] \IR [/mm] definiert? Das ist alles irgendwo noch nachvollziehbar, selbst wenn es ein ungewöhnliches Beispiel ist.
Auf H definieren wir eine Verknüpfung + durch
(f+g)(x) := f(x)+g(x)
Dann ist (C[a,b],+) eine Gruppe. Ferner sei
[mm] G:=C^{1}[a,b] [/mm] := {f:[a,b] [mm] \rightarrow \IR [/mm] | f ist stetig differenzierbar}.
Dann ist G eine Untergruppe von H. Die Abbildung
[mm] \frac{d}{dx} [/mm] : G [mm] \rightarrow [/mm] H
f [mm] \rightarrow f'=\frac{df}{dx}
[/mm]
warum wird hier [mm] \frac{d}{dx} [/mm] geschrieben? Normalerweise steht an dieser Stelle immer f:X [mm] \rightarrow [/mm] Y oder so. Dass dies in diesem Beispiel nicht geht, da bei C[a,b] schon f für die Abbildung verwendet wurde, sehe ich ein. Aber warum nennt man die Abbildung gerade [mm] \frac{d}{dx} [/mm] und nicht einfach p:G [mm] \rightarrow [/mm] H?
Noch weniger verstehe ich das [mm] f'=\frac{df}{dx} [/mm] ...
ist ein Homomorphismus, denn es gilt
(f+g)'=f'+g'.
warum gilt das denn? Aus welcher der gegebenen Voraussetzugen, folgt, dass (f+g)'=f'+g' ist?
Es gilt
Ker [mm] \frac{d}{dx}={f | f \equiv c}
[/mm]
mfg,
zjay
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Di 08.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es sei f:G [mm]\rightarrow[/mm] H ein Gruppenhomomorphismus, [mm]e_{G}[/mm]
> und [mm]e_{H}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
seien die neutralen Elemente von G bzw. H.
>
> Der Kern von f ist definiert als
>
> Ker f := { g [mm]\in[/mm] G | f(g) = [mm]e_{H}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Das Bild von f ist
>
> Im f := f(G)= {f(g) [mm]\in[/mm] H | g [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G}
>
>
> Das ist die Definition. Das folgende Beispiel zur
> Definition verstehe ich nicht ganz. Ich habe mit rot meine
> Fragen editiert.
>
> heißt dass, das die Menge H per Definition die Menge C
> ist, die ein geschlossenes Intervall von a nach b ist? Dann
> wird die Menge C als stetige Abbildung auf [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
definiert?
> Das ist alles irgendwo noch nachvollziehbar, selbst wenn es
> ein ungewöhnliches Beispiel ist.
> Es sei H:=C[a,b] := {f:[a,b] [mm]\rightarrow \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| f ist
> stetig}.
Es steht doch da , was H sein soll ! H besteht aus allen Funktionen f:[a,b] \to \IR, die auf dem Intervall [a,b] stetig sind.
Für dies Menge von Funktionen schreibt man auch C[a,b].
>
>
> Auf H definieren wir eine Verknüpfung + durch
>
> (f+g)(x) := f(x)+g(x)
>
> Dann ist (C[a,b],+) eine Gruppe. Ferner sei
>
> [mm]G:=C^{1}[a,b][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {f:[a,b] [mm]\rightarrow \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| f ist stetig
> differenzierbar}.
>
> Dann ist G eine Untergruppe von H. Die Abbildung
>
> [mm]\frac{d}{dx}[/mm] : G [mm]\rightarrow[/mm] H
> f [mm]\rightarrow f'=\frac{df}{dx}[/mm]
>
> warum wird hier [mm]\frac{d}{dx}[/mm] geschrieben? Normalerweise
> steht an dieser Stelle immer f:X [mm]\rightarrow[/mm] Y oder so.
> Dass dies in diesem Beispiel nicht geht, da bei C[a,b]
> schon f für die Abbildung verwendet wurde, sehe ich ein.
> Aber warum nennt man die Abbildung gerade [mm]\frac{d}{dx}[/mm] und
> nicht einfach p:G [mm]\rightarrow[/mm] H?
> Noch weniger verstehe ich das [mm]f'=\frac{df}{dx}[/mm] ...
Es ist ganz einfach: Wir nennen die Abbildung, wie Du es vorgeschlagen hast einfach p, also p:G [mm]\rightarrow[/mm] H.
Diese Abbildung ist so definiert: p(f):=f'
Jeder stetig differenzierbaren Funktion wird also durch p ihre Ableitung zugeordnet.
>
> ist ein Homomorphismus, denn es gilt
>
> (f+g)'=f'+g'.
>
> warum gilt das denn? Aus welcher der gegebenen
> Voraussetzugen, folgt, dass (f+g)'=f'+g' ist?
Das ist eine elementare Ableitungsregel !!!
Die Ableitung einer Summe ist = Summe der Ableitungen.
Wie hast Du denn bislang eine Funktion der Form
[mm] f(x)=x^2+cos(x) +x^4+2
[/mm]
differenziert ?
Eben: summandenweise
FRED
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> Es gilt
>
> Ker [mm]\frac{d}{dx}={f | f \equiv c}[/mm]
>
>
> mfg,
>
> zjay
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