kgV und ggT < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es seien g = ggT(a,b) und k=kgV(a,b), sowie g<a<b<k. Bestimmen Sie ab und b, wenn k=10500 und g=12. |
hallo.
ich tüftle schon lange an dieser aufgabe.
ich habe sie mir zunächst als teil eines hasse-diagramms gezeichnet.
ich kann hier jedoch keine hasse-diagramme zeichnen!! deshalb habe ich die matrizen darstellung genommen, sie kommt der etwas näher, ist aber keine matrize in diesem fall!!!
[mm] \begin{vmatrix}
b & 10500 \\
12 & a
\end{vmatrix}
[/mm]
man sieht, dass:
12 [mm] \times [/mm] x = a
12 [mm] \times [/mm] y = b
b [mm] \times [/mm] x = 10500
a [mm] \times [/mm] y = 10500
aber funktionieren mit der bedingung 12<a<b<10500 gibt es ja nur
a=60 (x=5)
b=2100 (y=175)
und/oder
a= 300 (x=25)
b=420 (y=35)
also die beiden habe ich gefunden.
man weis auch, dann a ein teiler von 10500 sein muss und gleichzeitig ein vielfaches von 12. b muss ein teiler von 10500 sein und gleichzeitig ein vielfaches von 12.
ich hab beim vergleichen der 12er reihe und der teilermenge von 10500 halt nur x=5 mit y=175 und x=25 mit y=35 gefunden.
was mach ich falsch, bzw wieso funktioniert das mit meinen gefundenen a's und b's nicht, bzw wie sind die korreckten zahlen und wie seit ihr auf die lösung gekommen.
denke ich zu schwer oder gar falsch?
daaanke im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Sa 28.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Es seien g = ggT(a,b) und k=kgV(a,b), sowie g<a<b<k.
> Bestimmen Sie ab und b, wenn k=10500 und g=12.
> hallo.
Hallo,
da der ggT 12 ist, gilt a=12*c und b=12*d. c und d sind natürliche Zahlen, die teilerfremd sind (wären sie es nicht, wäre 1 nicht der GRÖßTE gemeinsme Teiler.
Das kgV von a und b ist dann 12*c*d, also gilt 12cd=10500 und damit cd=875.
Nun ist [mm] 875=7*125=7*5^3.
[/mm]
Da c und d teilerfremd sind, müssen alle drei Primfakoren 5 zur gleichen Zahl gehören.
Für (c,d) gibt es somit die Möglichkeiten (1;875) und (7;125) und (125;7) und (875;1)
Eine Multiplikation von c und d mit 12 liefert die entsprechenden Werte für a und b.
Gruß Abakus
>
> ich tüftle schon lange an dieser aufgabe.
> ich habe sie mir zunächst als teil eines hasse-diagramms
> gezeichnet.
> ich kann hier jedoch keine hasse-diagramme zeichnen!!
> deshalb habe ich die matrizen darstellung genommen, sie
> kommt der etwas näher, ist aber keine matrize in diesem
> fall!!!
>
> [mm]\begin{vmatrix}
b & 10500 \\
12 & a
\end{vmatrix}[/mm]
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> man sieht, dass:
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> 12 [mm]\times[/mm] x = a
> 12 [mm]\times[/mm] y = b
> b [mm]\times[/mm] x = 10500
> a [mm]\times[/mm] y = 10500
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> aber funktionieren mit der bedingung 12<a<b<10500 gibt es
> ja nur
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> a=60 (x=5)
> b=2100 (y=175)
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>
> und/oder
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> a= 300 (x=25)
> b=420 (y=35)
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> also die beiden habe ich gefunden.
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> man weis auch, dann a ein teiler von 10500 sein muss und
> gleichzeitig ein vielfaches von 12. b muss ein teiler von
> 10500 sein und gleichzeitig ein vielfaches von 12.
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> ich hab beim vergleichen der 12er reihe und der teilermenge
> von 10500 halt nur x=5 mit y=175 und x=25 mit y=35
> gefunden.
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> was mach ich falsch, bzw wieso funktioniert das mit meinen
> gefundenen a's und b's nicht, bzw wie sind die korreckten
> zahlen und wie seit ihr auf die lösung gekommen.
> denke ich zu schwer oder gar falsch?
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> daaanke im voraus
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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