kleinste Fehlerquadrate < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Fr 16.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
| Aufgabe | Man bestimme ein approximiertes Polynom ersten Grades (im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate) für folgende Punkte.
[mm] \vmat{ x_{i}& -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ y_{i} & 85 & 80 & 71 & 55 & 31 & 0 & -22} [/mm] |
Hallo!
Teil A: So wie ich das verstehe, soll ich die gegebenen Punkte durch eine Funktion der Form: y(x)=a*x+b approxinieren!
Die Methode der kleinsten Fehlerquadrate habe ich auch so weit verstanden, nur stellt sich nun folgende Frage:
Um den Wert von a zu berechnen verwende ich diese Formel:
[mm] a=\bruch{(\summe_{i=1}^{m}x_{i}^2)*(\summe_{i=1}^{m}y_{i})-(\summe_{i=1}^{m}(x_{i} y_{i})*(\summe_{i=1}^{m}x_{i})
}{m*(\summe_{i=1}^{m}x_{i}^2)-(\summe_{i=1}^{m}x_{i})^2}
[/mm]
Wenn ich nun die Summe über [mm] x_{i} [/mm] bilde, ergibt dies logischerweise 0 !
Dies würde ja bedeuten, dass der gesamte 2. Therm im Zähler sowie der 2. Therm im Nenner 0 werden!
Stimmt dies, bzw. gibt es eine andere Möglichkeit, dies zu lösen??
In der Vorlesung haben wir leider nur Werte von [mm] x_{i}, [/mm] i =1,2,....,m gehabt, und nie negative!!
Besten Dank für eure Hilfestellung!!
Mfg
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> Man bestimme ein approximiertes Polynom ersten Grades (im
> Sinne der kleinsten Fehlerquadrate) für folgende Punkte.
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> [mm]\vmat{ x_{i}& -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ y_{i} & 85 & 80 & 71 & 55 & 31 & 0 & -22}[/mm]
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> Hallo!
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> Teil A: So wie ich das verstehe, soll ich die gegebenen
> Punkte durch eine Funktion der Form: y(x)=a*x+b
> approxinieren!
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> Die Methode der kleinsten Fehlerquadrate habe ich auch so
> weit verstanden, nur stellt sich nun folgende Frage:
>
> Um den Wert von a zu berechnen verwende ich diese Formel:
>
> [mm]a=\bruch{(\summe_{i=1}^{m}x_{i}^2)*(\summe_{i=1}^{m}y_{i})-(\summe_{i=1}^{m}(x_{i} y_{i})*(\summe_{i=1}^{m}x_{i})
}{m*(\summe_{i=1}^{m}x_{i}^2)-(\summe_{i=1}^{m}x_{i})^2}[/mm]
>
> Wenn ich nun die Summe über [mm]x_{i}[/mm] bilde, ergibt dies
> logischerweise 0 !
>
> Dies würde ja bedeuten, dass der gesamte 2. Therm im
> Zähler sowie der 2. Therm im Nenner 0 werden!
>
> Stimmt dies, bzw. gibt es eine andere Möglichkeit, dies zu
> lösen??
> In der Vorlesung haben wir leider nur Werte von [mm]x_{i},[/mm] i
> =1,2,....,m gehabt, und nie negative!!
>
> Besten Dank für eure Hilfestellung!!
>
> Mfg
>
Hallo mike1988,
falls deine Formel stimmt, so freue dich doch einfach über
die rechnerische Vereinfachung, welche sich aus [mm] $\summe_{i=1}^{m}x_{i}\ [/mm] =\ 0$
ergibt !
Das rechnerische Ergebnis lässt sich wohl recht leicht durch
eine Skizze wenigstens grob überprüfen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Fr 16.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
Hallo!
Formel sollte stimmen, habe ich aus dem Vorlesungs-Skript!
Die Vereinfachung wäre ja nett, leider bekomme ich als Ergebniss eine Funktion, welche meine Punkte nicht ansatzweise approximiert!
Hilfestellung??
DANKE!
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Hallo mike1988,
> Hallo!
>
> Formel sollte stimmen, habe ich aus dem Vorlesungs-Skript!
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> Die Vereinfachung wäre ja nett, leider bekomme ich als
> Ergebniss eine Funktion, welche meine Punkte nicht
> ansatzweise approximiert!
>
Die Formel, die Du angegeben hast, ist diejenige für den Achsenabschnitt.
> Hilfestellung??
>
> DANKE!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Fr 16.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
Hallo!
Achsenabschnitt??
Ich habe mir diese Formel zur bestimmung von a notiert, also zur bestimmung der Steigung der AUsgleichsgerade!
Für den Parameter b haben wir folgende Formel erhalten:
[mm] b=\bruch{m*(\summe_{i=1}^{m}x_{i}*y_{i})-(\summe_{i=1}^{m}x_{i})\cdot{}(\summe_{i=1}^{m}y_{i}) }{m\cdot{}(\summe_{i=1}^{m}x_{i}^2)-(\summe_{i=1}^{m}x_{i})^2}
[/mm]
Leider verstehe ich noch immer nicht, wie ich mit den negativen Werten von x umgehen soll!
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Hallo mike1988,
> Hallo!
>
> Achsenabschnitt??
>
Ja, falls die Gerade so lautet: y=ax+b.
> Ich habe mir diese Formel zur bestimmung von a notiert,
> also zur bestimmung der Steigung der AUsgleichsgerade!
>
> Für den Parameter b haben wir folgende Formel erhalten:
>
> [mm]b=\bruch{m*(\summe_{i=1}^{m}x_{i}*y_{i})-(\summe_{i=1}^{m}x_{i})\cdot{}(\summe_{i=1}^{m}y_{i}) }{m\cdot{}(\summe_{i=1}^{m}x_{i}^2)-(\summe_{i=1}^{m}x_{i})^2}[/mm]
>
Dann lautet die Gerade, die ihr benutzt habt: y=b*x+a.
> Leider verstehe ich noch immer nicht, wie ich mit den
> negativen Werten von x umgehen soll!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Fr 16.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
Danke!
Genau! Die Gerade, welche wir benutz haben lautet: y=a+b*x !
Das heißt ja, dass zumindest diese Formeln stimmen! Oder??
Ist dan meine Interpretation auch richtig, dass die Therme [mm] \summe_{i=1}^{n}(x_{1}) [/mm] =0 sind???
Dann hätte cih ja bereits eine Lösung!
Besten Dank!
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Hallo mike1988,
> Danke!
>
> Genau! Die Gerade, welche wir benutz haben lautet: y=a+b*x
> !
>
> Das heißt ja, dass zumindest diese Formeln stimmen!
> Oder??
>
Ja, die Formeln stimmen.
> Ist dan meine Interpretation auch richtig, dass die Therme
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(x_{1})[/mm] =0 sind???
>
Ja, [mm]\summe_{i=1}^{n}(x_{\blue{i}}) =0 [/mm]
> Dann hätte cih ja bereits eine Lösung!
>
> Besten Dank!
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Fr 16.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
Besten Dank für die Hilfestellung!
Wünsche noch einen schönen Abend!
lg
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