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| Aufgabe | | Finden sie die kleinste positive lösung der gleichung: sinx + sin2x = 2sin3x |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo leute kann mir jemand dabei helfen?
mfg, steve
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 So 20.01.2008 | | Autor: | abakus |
Es gilt sin2x=2sinxcosx. Sin3x habe ich gerade nicht greifbar, aber es gilt allgemein (Additionsthorem): sin(x+y)=sinxcosx+cosxsiny.
Wende das entsprechend auf sin3x=sin(2x+x) an.
Ach so, dazu brauchst du noch cos2x=cos²x-sin²x.
Aus den Termen lässt sich auf alle Fälle sinx ausklammern, und du kannst sin²x durch 1-cos²x (oder umgekehrt) ersetzen.
Probier mal, wie weit du damit kommst.
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okay, schonmal danke, ich werde mich mal mit diesem Ansatz auseinandersetzen!
gruß
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soo...ich habe die terme jetzt laut oben substituiert: aber an einer stelle komme ich nicht weiter!
mein lösungsansatz:
sinx + sin2x = 2sin3x
sinx + 2sinx * cosx = 2sin2x + 2sinx
sinx + 2sinx *cosx = 4sinx * cosx + 2sinx
sinx + 2sinx * cosx - 4sinx * cosx - 2sinx = 0
sinx ( 2cosx - 4cosx -2 ) = 0
sinx ( -2 cosx - 2) = 0
jetzt weiss ich nicht weiter?????
eventuell zurücksubstituieren in sin(-2x) - 2sinx ???? aber das hilft auch nicht weiter!!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 So 20.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stiffler!
> sinx + sin2x = 2sin3x
> sinx + 2sinx * cosx = 2sin2x + 2sinx
Wie kommst Du denn hier auf die rechte Seite der Gleichung? Da hast Du den o.g. Tipp nicht richtig umgesetzt ...
[mm] $$\sin(3x) [/mm] \ = \ [mm] \sin(2x+x) [/mm] \ = \ [mm] \sin(2x)*\cos(x)+\cos(2x)*\sin(x) [/mm] \ = \ ...$$
Wie man aber auch ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen kann, gilt:
[mm] $$\sin(3x) [/mm] \ = \ [mm] 3*\sin(x)-4*\sin^3(x)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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aja, das war mein fehler, ich hab nochmal drüber geschaut....aber bin mir nicht sicher!!!
sinx + sin2x = 2sin3x
sinx + 2sinx * cosx = 6sinx - 8sin³x
sinx + 2sinx * cosx - 6sinx + 8sin³x = 0
-5sinx + 2sinx * cosx + 8sin³x = 0
so jetzt hab ich mir gedacht: sinx ausklammern!! die frage ist aber: kann man das bei 4sin³x einfach so machen, das dann 4sin²x dasteht!!
ich habs mal gemacht!!
dann gehts weiter:
sinx( -5 +2cosx + 8sin²x) = 0
da ist mein erstes x null, wenn ich durch die klammer teile
dann hab ich
-5 +2cosx + 8sin²x = 0 ist eine quadratische gleichung
und diese dann mit der p-q formel aufgelöst!!(oder muss ich das cosx noch irgendwie substituieren)
geht das so....oder lieg ich da total falsch!!
grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Mo 21.01.2008 | | Autor: | abakus |
Du musst vorher sin²x durch 1-cos²x ersetzen
(bzw 8sin²x durch 8-8cos²x).
Dann hast du eine quadratische Gleichung mit der "Variablen" cos x.
Zur Vereinfachung der Schreibweise ersetzt du cos x durch eine Variable (z.B. cos x = u) und hast eine quadratische Gleichung mit u.
Es folgt die übliche Prozedur: Normalform herstellen, u berechnen (möglicherweise 2 Lösungen), dann "rückübersetzen" - die gefundenen u entsprechen bestimmten Cosinuswerten, und die wiederung bestimmten x-Werten.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:16 Di 22.01.2008 | | Autor: | Stiffler1234 |
okay hab ich gemacht:
8 - 8cos²x + 2cosx - 5 = 0
quadratische gleichung:
cos²x - [mm] \bruch{1}{4}cosx [/mm] - [mm] \bruch{3}{8} [/mm] = 0
substituiert mit u
u² - [mm] \bruch{1}{4}u [/mm] - [mm] \bruch{3}{8} [/mm] = 0
dann pq formel:
u1 = [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
u2 = [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
3/4 ist ausgeschlossen, da es die gleichung nicht erfüllt! deshalb cosx = - 1/2
jetzt müsst ich doch theroetisch das cosx nur noch in eine obere gleichung: 8sin²x + 2cosx -5 = 0 einsetzen und nach sinx umstellen!! oder??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Di 22.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo stiffler!
Das sieht doch schon sehr gut aus! Aber warum willst Du [mm] $u_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{4}$ [/mm] ausschließen?
Was erhältst Du denn, wenn Du hier resubstituierst?
Gruß
Loddar
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