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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 So 23.06.2013 | | Autor: | Heuteu |
Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit dem "kleinsten Körper", auch F2 genannt (weitere Stichwörter binär und modulo).
+ 1 0 * 1 0
1 1 0 1 1 1
0 0 1 0 1 0
Ich habe mit einer Ausnahme alle Axiome nachweisen können die ({1,0},+,*) als Körper ausweisen. Ich habe kein inverses Element für die 1 bezüglich der Multiplikation.
(Hat es damit zu tun, dass die 1 das neutrale Element bzgl + ist und ist die Aufgabenstellung zu ungenau gestellt weil man die 1 rausnehmen muss?)
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
[willkmommenvh]
> ich beschäftige mich gerade mit dem "kleinsten Körper",
> auch F2 genannt (weitere Stichwörter binär und modulo).
>
> + 1 0 * 1 0
> 1 1 0 1 1 1
> 0 0 1 0 1 0
Wie kommst du auf diese Tabellen, die sind beide falsch?
>
> Ich habe mit einer Ausnahme alle Axiome nachweisen können
> die ({1,0},+,*) als Körper ausweisen. Ich habe kein
> inverses Element für die 1 bezüglich der Multiplikation.
> (Hat es damit zu tun, dass die 1 das neutrale Element bzgl
> + ist und ist die Aufgabenstellung zu ungenau gestellt weil
> man die 1 rausnehmen muss?)
Die 1 ist zu sich selbst invers bzg. der Multiplikation.
Versuche es nochmals mit den Verknüpfungstafeln. Ich schreibe dir mal die für die Addition auf:
+| 0 1
------
0| 0 1
1| 1 0
Jetzt versuche du dich nachmal an der Multiplikation.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 So 23.06.2013 | | Autor: | Heuteu |
Das läuft doch auf das selbe hinaus, mit 1 und 0 vertauscht. (Bei meiner Aufgabenstellung ging es auch eigentlich um gerade und ungerade Zahlen, also die Menge {g, u}.)
+ 0 1 * 0 1
0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1
Neutrales Element bzgl + ist 0.
Neutrales Element bzgl * ist 1.
Inverses Element bzgl + sind die Elemente selber, also 0 für 0 und 1 für 1.
Inverses Element bzgl * für 1 ist die 1.
Aber von der 0 aus kann man mit * das neutrale Element 1 nie erreichen. (Anders gesagt: es gibt eine Zeile und Spalte mit identischen Elementen)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 So 23.06.2013 | | Autor: | Heuteu |
Ok, ich sehe grad, dass man das neutrale Elemente der Addition tatsächlich bei der Deklarierung der multiplikativen abelschen Gruppe herausnimmt. Dann ist wohl alles in Ordnung. Ich dachte jedes einzele Element braucht sein Inverses.
[mm] \left(K,+\right) [/mm] ist eine abelsche Gruppe (Neutrales Element 0)
[mm] \left(K\setminus\left\{0\right\},\cdot\right) [/mm] ist eine abelsche Gruppe (Neutrales Element 1)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:49 Mo 24.06.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ok, ich sehe grad, dass man das neutrale Elemente der
> Addition tatsächlich bei der Deklarierung der
> multiplikativen abelschen Gruppe herausnimmt.
Genau.
LG Felix
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Hallo,
> Das läuft doch auf das selbe hinaus, mit 1 und 0
> vertauscht.
Das ist ein Irrtum. Du kannst hier nicht einfach die Ziffern vertauschen.
> (Bei meiner Aufgabenstellung ging es auch
> eigentlich um gerade und ungerade Zahlen, also die Menge
> {g, u}.)
Nun, das als Körper ist isomorph zu [mm] F_2, [/mm] insofern macht es schon Sinn, mit 0 und 1 zu rechnen.
>
> + 0 1 * 0 1
> 0 0 1 0 0 0
> 1 1 0 1 0 1
>
> Neutrales Element bzgl + ist 0.
> Neutrales Element bzgl * ist 1.
> Inverses Element bzgl + sind die Elemente selber, also 0
> für 0 und 1 für 1.
> Inverses Element bzgl * für 1 ist die 1.
Ja, das ist bis hier alles richtig.
> Aber von der 0 aus kann man mit * das neutrale Element 1
> nie erreichen. (Anders gesagt: es gibt eine Zeile und
> Spalte mit identischen Elementen)
Das ist in jedem Körper so. Man nennt es Nullteilerfreiheit. Das inverse Element der Addition besitzt also in einem Körper grundsätzlich bzgl. der Multiplikation kein Inverses.
Was noch fehlt (vielleicht hast du das für dich schon gerechnet): für die Addition und die Multiplikation musst du noch die Assoziativität nachweisen und schlussendlich das Distributivgesetz zeigen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 So 23.06.2013 | | Autor: | Heuteu |
Wieso kann ich nicht vertauschen? Der Name einer Variable ist doch unerheblich. Die Ergebnisse der Tabelle werden sicher nicht die gleichen sein, jedoch analog genauso korrekt. (Wahrscheinlich allein schon wegen der Gültigkeit der Komm, Ass und Distr Gesetze.)
Nullteilerfreiheit, ahja das wars. Danke.
Die Ass, Komm und Distr Gesetze hat mein Dozent vom schon bewiesenen [mm] \IZ [/mm] übernommen. Ich habe das eher holzhammermäßig gemacht wobei ich hier eben im Forum was weitaus eleganteres gesehen jedoch nicht ganz verstanden habe.
Meine Notizen:
Kommutativgesetze
0 + 1 = 1 = 1 + 0
0 * 1 = 0 = 1 * 0
Assoziativgesetze
(0 + 1) + 0 = 1 + 0 = 1 = 0 + 1 = 0 + (1 + 0)
(0 * 1) * 0 = 0 * 0 = 0 = 0 * 0 = 0 * (1 * 0)
Andere Anordnungen/Fälle gelten wegen Kommutativgestz.
Distributivgesetz
0 * (1 + 0) = 0 * 1 = 0 = 0 + 0 = 0*1 + 0*0
Über meine Schwachstelle keine drittes verschiedenes Element zu haben bin ich mir bewusst.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 Mo 24.06.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wieso kann ich nicht vertauschen? Der Name einer Variable
> ist doch unerheblich.
Ja, du kannst das schon vertauschen. Ist zwar in Ordnung, aber sollte man nicht machen, da die Namen sehr verwirren :) Man nimmt normalerweise an, dass ein Objekt namens "0" in einem Ring das neutrale Element bzgl. der Addition ist, und ein Objekt namens "1" das neutrale Element bzgl. Multiplikation.
> Die Ergebnisse der Tabelle werden
> sicher nicht die gleichen sein, jedoch analog genauso
> korrekt. (Wahrscheinlich allein schon wegen der Gültigkeit
> der Komm, Ass und Distr Gesetze.)
Ja, die Tabellen sehen dann so aus wie in deiner ersten Frage.
> Die Ass, Komm und Distr Gesetze hat mein Dozent vom schon
> bewiesenen [mm]\IZ[/mm] übernommen. Ich habe das eher
> holzhammermäßig gemacht wobei ich hier eben im Forum was
> weitaus eleganteres gesehen jedoch nicht ganz verstanden
> habe.
Wenn du mit [mm] $\IZ$ [/mm] startest und modulo dem Ideal $2 [mm] \IZ$ [/mm] gehst, bekommst du den Koerper [mm] $\IZ/2\IZ$, [/mm] der isomorph zu deinem Konstrukt ist. Er besteht aus den Restklassen $0 + [mm] 2\IZ [/mm] = [mm] 2\IZ$ [/mm] (Menge der geraden Zahlen) und $1 + [mm] 2\IZ$ [/mm] (Menge der ungeraden Zahlen).
Bei dieser Konstruktion bekommst du geschenkt, dass das Ergebnis ein kommutativer Ring mit Eins ist. Du musst nur noch zeigen, dass es auch Inverse zu jedem Element ungleich dem neutralen bzgl. der Addition gibt, und das ist hier klar, da es ausser dem neutralen Element bzgl. der Addition nur noch ein weiteres Element gibt, naemlich das neutrale bzgl. der Multiplikation, und dieses ist immer invertierbar (mit sich selbst als Inversem).
LG Felix
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