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| Aufgabe |
Berechnen sie die anzahl der verschiedenen dreistelligen Zahlen, die aus den Ziffern 1,3,4,5,6,8 gebildet werden können. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Problem ist folgendes: Die Berechnungsformeln für die einzelnen für die einzelnen Fälle (geordnete Stichprobe mit / ohne .. usw. ) sind mir bekannt. Doch ich blicke nicht dahinter, wann man welche Formel anwenden muss. Gibt es da einen Trick, um das zu erkennen?
Das Beispiel oben wäre meiner Meinung nach eine Variation (geordnete Stichprobe) mit Zurücklegen, also zu lösen über [mm] n^k [/mm] bei n=6 und k=3; Ergebnis wäre dann 216 Möglichkeiten.
Aber sicher bin ich mir nicht bei meiner Wahl, und ganz oft liege ich völlig daneben. Also nochmal meine Frage: Gibt es sowas wie ne 'Eselsbrücke' oder einen 'Trick' für dieses Problem?
Vielen Dank für Eure Mühe
Manuela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Di 21.03.2006 | | Autor: | Fugre |
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> Berechnen sie die anzahl der verschiedenen dreistelligen
> Zahlen, die aus den Ziffern 1,3,4,5,6,8 gebildet werden
> können.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Mein Problem ist folgendes: Die Berechnungsformeln für die
> einzelnen für die einzelnen Fälle (geordnete Stichprobe mit
> / ohne .. usw. ) sind mir bekannt. Doch ich blicke nicht
> dahinter, wann man welche Formel anwenden muss. Gibt es da
> einen Trick, um das zu erkennen?
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> Das Beispiel oben wäre meiner Meinung nach eine Variation
> (geordnete Stichprobe) mit Zurücklegen, also zu lösen über
> [mm]n^k[/mm] bei n=6 und k=3; Ergebnis wäre dann 216 Möglichkeiten.
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> Aber sicher bin ich mir nicht bei meiner Wahl, und ganz oft
> liege ich völlig daneben. Also nochmal meine Frage: Gibt es
> sowas wie ne 'Eselsbrücke' oder einen 'Trick' für dieses
> Problem?
>
> Vielen Dank für Eure Mühe
> Manuela
Hallo Manuela,
oft ist es sinnvoll, das Lösen einer Aufgabe in mehreren Schritten zu versuchen.
In diesem Fall würde ich zunächst überlegen, wie viele Zahlenkombinationen
beim Ziehen möglich wären, wenn wir die Reihenfolge vernachlässigen.
Das haben wir schnell geschafft, denn wir müssen nur [mm] $\vektor{ n \\ k}$ [/mm] rechnen,
also hier: [mm] $\vektor{8 \\ 3}=56$
[/mm]
Nun betrachten wir den zweiten Aspekt der Frage, denn die Reihenfolge ist ja hier
von Bedeutung und deshalb überlegen wir uns wie viele Anordnungsmöglichkeiten
es für eine Gruppe mit $k$ Elementen gibt und kommen auf $k!$ Möglichkeiten.
Die Gesamtzahl $A$ der möglichen Kombinationen entspricht dem Produkt dieser beiden
Einzelwahrscheinlichkeiten, also:
$ A= [mm] \vektor{ n \\ k} [/mm] *k! $ mit [mm] $\vektor{ n \\ k}=\frac{n!}{(n-k)!*k!}$
[/mm]
[mm] $A=\frac{n!*k!}{(n-k)!*k!}=\frac{n!}{(n-k)!}$
[/mm]
Hier gäbe es also $336$ Möglichkeiten.
Bei Wikipedia gibt es einen guten Artikel zum Thema ![[]](/images/popup.gif) Kombinatorik.
Gruß
Nicolas
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danke für den Tipp mit Wikipedia, die Seite scheint tatsächlich hilfreich, allerdings würde ich auch nach diesem Artikel bei meiner Aufgabe die 'Variation mit Zurücklegen', also [mm] n^k [/mm] wählen ...
Ich kann auch nicht nachvollziehen, wie du auf n=8 kommst; wäre es möglich, dass du die Aufgabe falsch gelesen hast (es stehen 6 Ziffern zur Auswahl, nicht die Ziffern 1-8)
aber vielleicht hab ich ja auch einen Denkfehler im System :)
Gruss Manuela
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Hallo und einen guten Frühabend zusammen,
Freunde: es ist schon spät, ja, aber versuchen wir einen Moment nochmal, uns zu konzentrieren. Nun denn:
Manuela liegt richtig. Wir haben k verschiedene Ziffern (hier: k=6, richtig ?), und wir fragen uns, wieviele verschiedene
n-stellige Zahlen wir unter Verwendung dieser bilden können. Nehmen wir an, dass - wie im Beispiel - die Null nicht vorkommt, so dass
wir nicht Probleme mit führenden Nullen kriegen.
Dann können wir doch für jede der n stellen unabhängig eine der k Ziffern wählen (und auch Ziffern für verschiedene Stellen mehrfach verwenden).
Die Anzahl der Moeglichkeiten ist daher [mm] n^k, [/mm] das ist im übrigen nichts anderes als die Zahl der Abbildungen von einer
k-elementigen in eine n-elementige Menge.
Wären wir nun im Falle [mm] k\geq [/mm] n an der Zahl der injektiven Abbildungen interessiert (hier also die Anzahl der dreistell. Zahlen unter Verwendung
der gegebenen 6 Ziffern, so dass jede Ziffer höchstens einmal vorkommen darf), so wäre die als fehlerhaft markierte Antwort im Strang
die darauf richtige:
[mm] {n\choose k}\:\times \:k! [/mm] (wähle k versch. Ziffernn aus und nimm dann alle Permutationen von diesen k Ziffern).
Fröhliches Zählen und einen guten Abend wünscht
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 Di 21.03.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Mathias,
du hast k und n verechselt.Es sind n=6 Ziffern und k=3 Stellen, also [mm] 6^3 [/mm] Möglichkeiten. Natürlich meinst du das Richtige, aber es könnte sonst zu Verwirrungen kommen.
L G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Di 21.03.2006 | | Autor: | Walde |
Hi,
ich habe Fugres Antwort als Fehlerhaft markiert, weil ich mit einer anderen Überegungsweise auf ein anderes Ergebnis komme. Ich bin mir jetzt nicht 100%ig sicher, aber vielleicht können wir es gemeinsam nochmal überdenken. Mein Überlegung:
Ich zerlege die möglichen Zahlen in 3 Teile:
1. Zahlen, deren Ziffern alle verschieden sind:
Ich habe an der 100er Stelle 6 Ziffern zu Auswahl, an der 10er dann noch 5, an der einer noch 4, also 6*5*4 Möglichkeiten.
2.Zahlen mit 3 gleichen Ziffern gibt es 6.
3.Zahlen mit 2 gleichen Ziffern, der Form aab: für a habe ich 6 Ziffern zur Auswahl, für b noch 5, also 6*5* [mm] \vektor{3 \\ 2}, [/mm] da ich für die beiden "a"s (die ich nicht unterscheiden kann) 3 mögliche Varianten habe (aab,aba,baa)
Ich komme also auf: 6*5*4+6+6*5*3=120+6+90=216 Möglichkeiten
Was haltet ihr davon?
l G walde
Edit: Mir ist grade klar geworden, dass es mit [mm] n^k [/mm] auch geht und auf diese Weise auch viel schneller *auf die Stirn hau*. Es kommt natürlich auch dasselbe Ergebnis raus, nämlich [mm] 6^3=216
[/mm]
Arrgh, Kombinatorik ist voller Fallstricke 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Di 21.03.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> ich habe Fugres Antwort als Fehlerhaft markiert, weil ich
> mit einer anderen Überegungsweise auf ein anderes Ergebnis
> komme. Ich bin mir jetzt nicht 100%ig sicher, aber
> vielleicht können wir es gemeinsam nochmal überdenken. Mein
> Überlegung:
>
> Ich zerlege die möglichen Zahlen in 3 Teile:
>
> 1. Zahlen, deren Ziffern alle verschieden sind:
> Ich habe an der 100er Stelle 6 Ziffern zu Auswahl, an der
> 10er dann noch 5, an der einer noch 4, also 6*5*4
> Möglichkeiten.
>
> 2.Zahlen mit 3 gleichen Ziffern gibt es 6.
>
> 3.Zahlen mit 2 gleichen Ziffern, der Form aab: für a habe
> ich 6 Ziffern zur Auswahl, für b noch 5, also 6*5*
> [mm]\vektor{3 \\ 2},[/mm] da ich für die beiden "a"s (die ich nicht
> unterscheiden kann) 3 mögliche Varianten habe (aab,aba,baa)
>
> Ich komme also auf: 6*5*4+6+6*5*3=120+6+90=216
> Möglichkeiten
Ich hatte anfangs auch mal versucht, diese Frage zu beantworten, war mir dann aber doch nicht sicher. Jedenfalls wäre ich da so an die Aufgabe ran gegangen, wie du es hier gemacht hast. Aber ich habe deine Antwort jetzt nicht ganz genau nachgeprüft (also quasi nur deine Idee gelesen). Aber wie gesagt, so hätte ich auch angefangen. Vielleicht habe ich nachher nochmal Zeit, mir das ganze genauer anzuschauen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 Di 21.03.2006 | | Autor: | Fugre |
Hallo zusammen,
also ich habe erstmal eine grundelegende Frage. Darf ich die Ziffern 1,...,8
benutzen oder darf ich jede so oft benutzen wie ich will? Oder kurz:
"Zurücklegen oder nicht zurücklegen, das ist hier die Frage!"
Wie ihr gesehen habt, entspricht meine Interpretation der Aufgabe dem ersten
Fall, eure dem zweiten. Da es meiner Ansicht nach nicht vollkommen eindeutig
ist, möchte ich mal beide Ansichten als richtig ansehen.
Gruß
Nicolas
PS: Natürlich ist mein $n$ falsch, da es ja nur $6$ Zahlen gibt.
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Herzlichen Dank für eure Hilfe ... aber hier noch mal mein Problem
Gibt es einen Trick um zu entscheiden, um welche Art der Abzählung es sich handelt? Ich entscheide mich in 5 von 10 Fällen für den falschen Fall, weil ich einfach kein Gefühl dafür habe, wann ich welches Urnenmodell benutzen muss.
Gruss Manuela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Do 23.03.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 Mi 22.03.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Manuela,
es geht um Sprachkonventionen. In der vorliegenden Aufgabe steht nichts davon, dass eine Ziffer "verbraucht" ist, nachdem sie einmal aufgetreten ist. Darum darf man sie noch einmal benutzen. Damit ist es ein Fall mit zurücklegen.
Das ist mein Rezept: Gibt der Text irgendeinen Hinweis, das man Dinge nur einmal verwenden darf? Wenn ja, dann ist es ein Fall ohne zurücklegen.
Übrigens gibt es auch unklar gestellte Aufgaben. Das hilft nicht, tröstet vielleicht.
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