komische Fourierreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f(x) = [mm] e^x+ (-1)^n*e^{-x} [/mm] für n ist Element aus N -1 < x < 1 f(x) = f(x+2)
Berechnen Sie die Fourierreihe der Funktion,
für welche n konvergiert die Folge gegen die Funktion |
Hi, bin etwas ratlos bei dieser Frage,
meine erste Überlegung war es getrennt für n gerade bzw ungerade zu betrachten,
für n = gerade bekomme ich ja eine gerade Funktion un damit [mm] b_n [/mm] = 0
ich habe dann da stehen fuer [mm] a_n [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1} (e^x+e^{-x}*(cos(k*x))\, [/mm] dx
partielle Integration wird da wohl nicht klappen,
kann mir jemand einen Anstoß geben ?
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Hallo Traumfabrik,
> f(x) = [mm]e^x+ (-1)^n*e^{-x}[/mm] für n ist Element aus N -1 < x
> < 1 f(x) = f(x+2)
> Berechnen Sie die Fourierreihe der Funktion,
>
> für welche n konvergiert die Folge gegen die Funktion
> Hi, bin etwas ratlos bei dieser Frage,
> meine erste Überlegung war es getrennt für n gerade bzw
> ungerade zu betrachten,
> für n = gerade bekomme ich ja eine gerade Funktion un
> damit [mm]b_n[/mm] = 0
>
> ich habe dann da stehen fuer [mm]a_n[/mm] = [mm]\integral_{-1}^{1} (e^x+e^{-x}*(cos(k*x))\,[/mm]
Da die Periode 2 ist, muss es richtig lauten:
[mm]a_\blue{k}} = \integral_{-1}^{1} \left(e^x+e^{-x}\right)*cos(k*\blue{\pi}*x) \ dx[/mm]
> dx
>
> partielle Integration wird da wohl nicht klappen,
>
Die partielle Integration kannst Du hier anwenden,
nur musst Du das dann mehrmals machen.
> kann mir jemand einen Anstoß geben ?
Gruss
MathePower
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Versuch gleichmal die partielle Integration, aber wieso kann ich da die Eulersche identität anwenden, dachte die gilt nur bei komplexen zahlen ?
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Hallo Traumfabrik,
> Versuch gleichmal die partielle Integration, aber wieso
> kann ich da die Eulersche identität anwenden, dachte die
> gilt nur bei komplexen zahlen ?
Wenn Du die Eulersche Identität anwenden willst,
dann musst Du [mm]\cos\left(k*\pi*x\right)[/mm] als Linearkombination
der entsprechenden komplexen Exponentialfunktionen schreiben.
Gruss
MathePower
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Hi, hab mal das für n gerade in wolfram alpha eingegeben und bekomme einen ewig langen ausdruck für das Integral von 0 bis 1 von
[mm] (e^x+e^{-x})*(cos(pi*k*x)
[/mm]
Irgendwo muss doch da was einfacher gehen ???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:32 Di 01.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo traumfabrik,
so ellenlang ist der Ausdruck für das Integral nicht und das schöne ist, dass in den trigonometrischen Termen des Sinus und des Cosinus das Argument [mm] k \pi x [/mm] vorkommt, das in den Grenzen zwischen -1 und 1 durchaus auszuwerten ist.
Viele Grüße,
Infinit
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Hab mich sicher unverständlich ausgedrückt,
habe die Grenzen schon eingegeben, damit ich ein Ergebnis habe zu dem ich " hinrechnen" kann
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Hallo,
es wäre mglicherweise hilfreich, wenn Du nicht auf unsere hellseherischen Fähigkeiten vertrauen würdest, sondern mal genau aufschreiben, was Du bisher hast.
Also etwa so:
"Für n gerade erhält man lt. Wolfram
Integral mit Grenzen und allem Pipapo= ausgewertetes Integral."
Dann könnten wir nämlich mal sehen, worum es eigentlich geht.
Daß die Sinus- und Kosinuswerte von ganzzahligen Vielfachen von [mm] \pi [/mm] "bequem" sind, ist Dir klar?
LG Angela
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Also für das Integral für gerade n
also für (e^(x)+e^(-x))*cos ( pi*k*x)
bekomme ich laut mathematica
[mm] \frac{e^(-x))*(pi*k*(e^(2x)+1)*sin(pi*k*x)+(e^(2x)-1)*cos(pi*k*x))}{pi^2*k^2+1}
[/mm]
Es heisst am anfang e^(-x) und die anderen terme sind e^(2x) , weiss nicht warum das nicht richtig dargestellt wird
Jetzt einsetzen von 0 bis 1 :
für 1 : der Sinusterm fällt weg und der 2. Summand wird zu [mm] (e^{2x}-1)*(-1)^n
[/mm]
somit bekomme ich für 1 :
[mm] \frac{(e^2-1)*(-1)^n}{pi^2 * k^2 + 1}
[/mm]
für 0 :
Sinus wieder 0 und cos = 1 und e^(2x)-1 = 0 deshalb fällt dieser Teil ganz weg
Stimmt das denn soweit ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
das [mm] e^{-x} [/mm] steht vor dem gesamten Zähler und dieser Term fehlt noch bei der Berechnung der oberen Grenze.
Viele Grüße,
Infinit
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Also bekäme ich für gerade n von 0 bis 1 integriert
[mm] \frac{(e^2-1)*(-1)^n}{e*(pi^2 * k^2 + 1)} [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Infinit |
hallo Traumfabrik,
ja, das sieht ganz danach aus.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo Traumfabrik,
> Also bekäme ich für gerade n von 0 bis 1 integriert
>
> [mm]\frac{(e^2-1)*(-1)^n}{e*(pi^2 * k^2 + 1)}[/mm] ?
Ja, für die Integration von 0 bis 1 stimmt das. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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Ok, jetzt zu ungeraden n:
da ist meine Funktion ja ungerade
und ich bekomme [mm] b_k [/mm] = [mm] \frac{4}{pi} \integral_{0}^{1} (e^x-e^{-x})*sin(pi*k*x)\, [/mm] dx
als Integral bekomme einen super langen term, ist das vorgehen so richtig, die funktion für n gerade und dann n ungerade zu untersuchen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo Traumfabrik,
die Vorgehensweise ist okay, da muss von der Struktur her was Ähnliches rauskommen.
Für das unbestimmte Integral bekomme ich den Ausdruck
[mm]\bruch{e^{-x}((e^{2x}+1)\sin(\pi k x) - \pi k(e^{2x}-1) \cos(\pi k x))}{\pi^2 k^2 +1} [/mm]
VG,
Infinit
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Für 1:
der sinusTerm wird 0, es bleibt [mm]\bruch{(\ - \pi k(e^{2x}-1) \*-(1)^k))}{\pi^2 k^2 +1} [/mm]
für 0 fällt alles weg .
Bin ich damit jetzt fertig und setze einfach in die Formel für die Fourierreihe ein ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:07 Do 03.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
den Faktor [mm] e^{-x} [/mm] ganz vorne im Zähler, den hast Du mal wieder vergessen beim Einsetzen der oberen Grenze.
Ansonsten ist es das und Du kannst die Terme in die Fourierreihe einsetzen.
Viele Grüße,
Infinit
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Ok, also
[mm] a_k [/mm] = [mm] \frac{(e^2-1)*(-1)^n}{e*(pi^2 * k^2 + 1)}
[/mm]
dann ist ja [mm] a_0 [/mm] = [mm] \frac{(e^2-1)*(-1)^n}{e}
[/mm]
die Fourierrieihe wäre ja dann : S(x)= [mm] \frac{(e^2-1)*(-1)^n}{2*e}+\summe_{k=1}^{unendlich} (\frac{(e^2-1)*(-1)^n}{e*(pi^2 * k^2 + 1)} [/mm] )*cos (pi*k*x)+ [mm]\bruch {e*(\ - \pi k(e^{2x}-1) \*-(1)^k))}{\pi^2 k^2 +1} [/mm] * sin ( pi * k * x)
Stimmt das denn soweit ???
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> Ok, also
>
> [mm]a_k[/mm] = [mm]\frac{(e^2-1)*(-1)^n}{e*(pi^2 * k^2 + 1)}[/mm]
>
> dann ist ja [mm]a_0[/mm] = [mm]\frac{(e^2-1)*(-1)^n}{e}[/mm]
>
> die Fourierrieihe wäre ja dann : S(x)=
> [mm]\frac{(e^2-1)*(-1)^n}{2*e}+\summe_{k=1}^{unendlich} (\frac{(e^2-1)*(-1)^n}{e*(pi^2 * k^2 + 1)}[/mm]
> )*cos (pi*k*x)+ [mm]\bruch {e*(\ - \pi k(e^{2x}-1) \*-(1)^k))}{\pi^2 k^2 +1}[/mm]
> * sin ( pi * k * x)
>
> Stimmt das denn soweit ???
Hallo,
irgendwie bist Du ein Verwirrungskünster...
Nur ist mir nicht ganz klar, ob Du selbst verwirrt bist von Deinem Tun, oder ob Du lediglich mich verwirrst.
Wahrscheinlich ist beides der Fall...
Was hatten wir denn hier?
Für jedes [mm] n\in \IN [/mm] sollte man die 2-periodische Funktion [mm] f_n:\IR\to \IR [/mm] betrachten mit
[mm] f_n(x):=e^x+(-1)^ne^{-x} [/mm] für [mm] x\in [/mm] [-1,1].
Bereits an dieser Stelle lohnt sich ein Innehalten: man soll hier nicht für eine Funktion die Fourierreihe aufstellen, sondern für ganz viele Funktionen, nämlich für die Funktionen [mm] f_0, f_1, f_2, f_3, f_4 [/mm] usw.
Nun ist diese Funktionenschar recht langweilig, denn Du hattest schnell festgestellt, daß alle Funktionen für gerades n gleich sind, und für ungerades n ebenfalls, so daß man nur zwei Funktionen untersuchen muß.
1.Fall: n gerade.
Dann ist [mm] f_n(x)=e^x+e^{-x} [/mm] für [mm] x\in[-1,1].
[/mm]
Diese Funktion ist, wie Du erkannt hast, gerade. (Warum? Ich bin mir nicht ganz sicher, ob Du sie aus dem richtigen Grund als "gerade" eingestuft hast.)
Für gerade Funktionen sind die Fourierkoeffizienten [mm] b_k [/mm] allesamt =0, und man muß nur die [mm] a_k [/mm] berechnen.
Das hast Du getan, allerdings ist Dir hierbei ein Fehler unterlaufen:
zu integrieren ist über eine Periodenlänge, und Du hast nur von 0 bis 1 integriert! Dadurch sind Deine [mm] a_k [/mm] nicht ganz richtig. Da aber [mm] (e^x+e^{-x})cos(k\pi [/mm] x) gerade ist, ist dieser Fehler schnell zu korrigieren.
Du hast also nun herausgefunden:
[mm] a_k=...
[/mm]
[mm] b_k=0.
[/mm]
Wenn Du das weißt, kannst Du die Fourierreihe für [mm] f_n [/mm] für gerades n hinschreiben:
[mm] F(x)=\bruch{a_0}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}a_k*cos(k\pi [/mm] x).
Nun kommt die Untersuchung der Funktionen [mm] f_n [/mm] für ungerades n.
2.Fall: n ungerade.
Dann ist [mm] f_n(x)=e^x-e^{-x} [/mm] für [mm] x\in[-1,1].
[/mm]
Diese Funktion ist, wie Du erkannt hast, ungerade. (Warum? Ich bin mir nicht ganz sicher, ob Du sie aus dem richtigen Grund als "ungerade" eingestuft hast.)
Für ungerade Funktionen sind die Fourierkoeffizienten [mm] a_k [/mm] allesamt =0, und man muß nur die [mm] b_k [/mm] berechnen.
Das hast Du getan, allerdings ist Dir hierbei ein Fehler unterlaufen:
zu integrieren ist über eine Periodenlänge, und Du hast nur von 0 bis 1 integriert! Dadurch sind Deine [mm] b_k [/mm] nicht ganz richtig. Da aber [mm] (e^x-e^{-x})sin(k\pi [/mm] x) gerade ist, ist dieser Fehler schnell zu korrigieren.
Außerdem ist doch irgendwie der Faktor e aus dem Nenner in den Zähler gewandert, oder?
(Oder soll der Term, der irgendwo bei Dir rumfliegt, gar nicht das [mm] b_k [/mm] sein? [mm] "b_k=" [/mm] steht jedenfalls nicht davor.)
Du hast also nun herausgefunden:
[mm] a_k=0
[/mm]
[mm] b_k=...
[/mm]
Wenn Du das weißt, kannst Du die Fourierreihe für [mm] f_n [/mm] für ungerades n hinschreiben:
[mm] F(x)=\summe_{k=1}^{\infty}b_k*sin(k\pi [/mm] x).
LG Angela
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Erstmal vielen dank für die ausführliche Antwort. Bin sicherlich verwirrt und es tut mir leid wenn das auf andere überspringt.
Ich habe von 0 bis 1 integriert weil laut Formelsammlung(Formeln+Hilfen) wenn eine Funktion gerade bzw ungerade ist man die Grenzen von 0 bis P/2 wählt.
Bei erneuerter Überlegung vermutlich falsch, da ich ja weder eine gerade noch eine ungerade Funktion habe wenn ich es allgemein betrachte.
Das ich als Ergebnis schlicht 2 Fourierreihen erhalte war mir einfach nicht klar, da ich dachte ich müsste jetzt alles " zusammenwerfen" in eine Formel
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> Ich habe von 0 bis 1 integriert weil laut
> Formelsammlung(Formeln+Hilfen) wenn eine Funktion gerade
> bzw ungerade ist man die Grenzen von 0 bis P/2 wählt.
Hallo,
Du weißt gar nicht, was eine gerade Funktion ist, oder?
Eine gerade Funktion ist eine Funktion, die symmetrisch zur y-Achse ist.
Wenn Du nun die Fläche unter dem Graphen einer symmetrischen Funktion haben möchtest, etwa über dem Intervall [-5,5], dann kannst Du entweder von -5 bis 5 integrieren, oder Du integrierst von 0 bis 5, mußt das Ergebnis dann aber verdoppeln, wenn Du Dich für die Gesamtfläche interessierst.
> Bei erneuerter Überlegung vermutlich falsch, da ich ja
> weder eine gerade noch eine ungerade Funktion habe wenn ich
> es allgemein betrachte.
Nein, das war prinzipiell schon richtig, bloß Du hast das Verdoppeln vergessen.
>
> Das ich als Ergebnis schlicht 2 Fourierreihen erhalte war
> mir einfach nicht klar, da ich dachte ich müsste jetzt
> alles " zusammenwerfen" in eine Formel
Das liegt daran, daß Dir vermutlich nicht klar war, daß Du nicht die Fourierreihe einer Funktion aufstellen sollst, sondern daß Du ganz viele Funktionen gegeben hast - welche sich dann als bloß zwei verschiedene entpuppt haben.
LG Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo Traumfabrik,
die Berechnung der Integrale ist schon okay und Du darfst auch nur über die halbe Peiode integrieren, allerdings brauchst Du dann noch einen Faktor 2 für das Endergebnis.
Allgemein gilt bei einer Periodenlänge von L für die Berechnung der Cosinuskoeffizienten bei einer geraden Funktion
[mm] a_k = \bruch{4}{L}\int_0^{\bruch{L}{2}} f(x) \cos (\bruch{2\pi k}{L}x)\, dx [/mm]
und entsprechendes bei der Integration über eine ungerade Funktion.
Das n definiert nur zwei Klassen von Funktionen, eine ist gerade, die andere ungerade, so dass die Rechnung schon stimmt.
Viele Grüße,
Infinit
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Ok, ich bekomme dann für gerade n ( [mm] b_k) [/mm] =0
S(x) [mm] =\frac{(e^2-1)*(-1)^n}{e*(pi^2+1)} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{unendlich} \frac{2*(e^2-1)*(-1)^n}{e*(pi^2*k^2+1)}*cos(pi*k*x)
[/mm]
und für ungerade n ( [mm] a_n) [/mm] = 0
S(x) [mm] =\summe_{k=1}^{unendlich}[/mm] [mm]\bruch {2*e*(\ - \pi k(e^{2x}-1) \*-(1)^k))}{\pi^2 k^2 +1} [/mm] * sin ( pi * k * x)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo Traumfabrik,
für die ungerade Funktion muss die e-Funktion im Zähler auch wieder in den Nenner, wie ich gestern schon geschrieben hatte. Sonst sieht es gut aus.
Viele Grüße,
Infinit
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Ok, ich bekomme dann für gerade n ( [mm] b_k) [/mm] =0
S(x) [mm] =\frac{(e^2-1)*(-1)^k}{e*(pi^2+1)} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{unendlich} \frac{2*(e^2-1)*(-1)^k}{e*(pi^2*k^2+1)}*cos(pi*k*x) [/mm]
und für ungerade n ( [mm] a_n) [/mm] = 0
S(x) [mm] =\summe_{k=1}^{unendlich}[/mm] [mm]\bruch {2*(\ - \pi k(e^{2x}-1) \*-(1)^k))}{e*(\pi^2 k^2 +1)} [/mm] * sin ( pi * k * x)
Hoffe damit stimmt es
Ich denke für gerade n konvergiert die Reihe, da der Nenner immer weiter anwächst und der Zähler das Vorzeichen wechselt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ja, das sieht jetzt recht gut aus.
Alle Reihen konvergieren gegen die Funktion, die sie jeweils repräsentieren.
By the Way, Unendlich lässt sich auch in Latex darstellen:
\infty schreibt man dafür.
Viele Grüße,
Infinit
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Aber die Frage ist ja , für welche n konvergiert die Reihe gegen die Funktion ?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Nun ja, das haben wir doch schon geklärt. Für gerade n konvergiert die Reihe gegen die Funktion
[mm] e^{x} + e^{-x} [/mm], für ungerade n gegen
[mm] e^x - e^{-x} [/mm]
VG,
Infinit
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Das ist mir klar, allerdings weiss ich nicht ob es wirklich die Antwort auf die frage ist,
diese lautet "für welche n konvergiert die Folge gegen die Funktion"
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ich wüsste sonst keine andere Antwort, die hier Sinn machen würde.
VG,
Infinit
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Wunderbar :)
Frage mich nur ernsthaft ob ich es jemals schaffe so eine Aufgabe binnen 18 minuten ( die anscheinend vorgesehene zeit) abzuarbeiten
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Wenn Du irgendetwas benutzen dafst, um die Fourierintegrale zu bestimmen, dann sollte dies schon gehen, ansonsten halte ich es für ziemlich unmöglich.
VG,
Infinit
P.S.: In meinem alten Bronstein von 1979 sind dies die Integrale 459 und 460.
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> Nun ja, das haben wir doch schon geklärt. Für gerade n
> konvergiert die Reihe gegen die Funktion
> [mm]e^{x} + e^{-x} [/mm], für ungerade n gegen
> [mm]e^x - e^{-x}[/mm]
> VG,
> Infinit
Hallo,
über dem Intervall (-1,1) ist das wohl der Fall.
Aber die Funktionen [mm] f_n [/mm] sind ja über ganz [mm] \IR [/mm] definiert, und für ungerade n ist [mm] f_n [/mm] ja nicht stetig.
An den Unstetigkeitsstellen kann die Fourierreihe doch nicht gegen [mm] f_n [/mm] konvergieren. (?)
LG Angela
>
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Hi,
könntest du erläutern warum die Funktion für ungerade n nicht stetig ist ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo Traumfabrik,
Angelas Einwand ist berechtigt. Innerhalb des Intervalls ist alles okay, aber die Entwicklung in die Fourierreihe gilt ja für alle reellen Zahlen. Die Funktion, in Deinem Fall mit einer Periode von 2, wird periodisch fortgesetzt. Male Dir mal die ungerade Funktion im Bereich zwischen -1 und 1 auf und repetiere diese Kurve nach links und rechts. Dann wirst Du sehen, dass an den Intervallgrenzen Sprungstellen auftreten.
Hier hilft dann der Satz von Dirichlet weiter: An diesen Unstetigkeitsstellen konvergiert die Fourierreihe gegen den arithmetischen Mittelwert von rechts- und linksseitigem Grenzwert. Das liefert für die ungerade Funktion eine glatte Null.
Viele Grüße,
Infinit
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