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Forum "Uni-Lineare Algebra" - kommutativer Ring
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kommutativer Ring: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:06 So 07.10.2007
Autor: SusanneK

Aufgabe
Sei [mm] R = \{ \bruch{a}{b} \in \IQ | a,b, \in \IZ [/mm] und b ist ungerade [mm] \} [/mm]

Beweisen Sie, dass [mm] ( R, +, * ) [/mm] ein kommutativer Ring ist. Hierbei bezeichnen + und * die Addition und Multiplikation in [mm] \IQ. [/mm] Untersuchen Sie, ob [mm] ( R, +, * ) [/mm] ein Körper ist.

So richtig weiss ich nicht, wie ich vorgehen soll (habe leider so meine Probleme bei Beweisen), hier mein Ansatz:

Da b ungerade ist, gibt es das neutrale Element 1 der Multiplikation.
Da a = 0 möglich, gibt es das neutrale Element 0 der Addition.
Beim inversen Element bin ich mir schon nicht mehr so sicher, da könnte sich [mm] \bruch{2}{3} [/mm] in [mm] \bruch{3}{2} [/mm] drehen, dann ist der Nenner nicht mehr ungerade.

Wie muss ich vorgehen ?
Danke, Susanne.



        
Bezug
kommutativer Ring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:21 So 07.10.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Susanne,

das sind schonmal gute Ideen


> Sei [mm]R = \{ \bruch{a}{b} \in \IQ | a,b, \in \IZ[/mm] und b ist
> ungerade [mm]\}[/mm]
>  
> Beweisen Sie, dass [mm]( R, +, * )[/mm] ein kommutativer Ring ist.
> Hierbei bezeichnen + und * die Addition und Multiplikation
> in [mm]\IQ.[/mm] Untersuchen Sie, ob [mm]( R, +, * )[/mm] ein Körper ist.
>  So richtig weiss ich nicht, wie ich vorgehen soll (habe
> leider so meine Probleme bei Beweisen), hier mein Ansatz:
>  
> Da b ungerade ist, gibt es das neutrale Element 1 der
> Multiplikation. [ok]
>  Da a = 0 möglich, gibt es das neutrale Element 0 der
> Addition. [ok]
>  Beim inversen Element bin ich mir schon nicht mehr so
> sicher, da könnte sich [mm]\bruch{2}{3}[/mm] in [mm]\bruch{3}{2}[/mm] drehen,
> dann ist der Nenner nicht mehr ungerade. [ok]

Was sagt dir das? Kann R dann ein Körper sein?

Die Antwort hast du ja selbst (implizit) geliefert: NEIN

Es gibt Elemente in R, die kein multiplikativ Inverses haben, nämlich alle mit geradem Zähler..

>  
> Wie muss ich vorgehen ?
>  Danke, Susanne.
>  

Du musst alles nur noch formalisieren.

Zunächst musst du zeigen, dass (R,+) ne abelsche Gruppe ist.
Das sind so einige Dinge, die du zeigen musst - schaue ins Skript, wenn du's nicht auswendig weißt

Du hattest oben nur etwas zum neutralen Element gesagt.

Gib es explizit an, zeige, dass es aus R ist und dass es die Eigenschaft eines n.E. erfüllt

Zeige weiter, dass (1) R bzgl. [mm] \cdot{} [/mm] abgeschlossen ist, (2) die Existenz des neutralen Elementes in R bzgl. [mm] \cdot{}, [/mm] (3) die Kommutativität von [mm] \cdot{} [/mm]

Und zu guter Letzt zeige, dass die Distributivgesetze gelten...


LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
kommutativer Ring: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:13 So 07.10.2007
Autor: SusanneK

Hallo schachuzipus,
vielen Dank für deine Hilfe !

> Zunächst musst du zeigen, dass (R,+) ne abelsche Gruppe
> ist.
>  Das sind so einige Dinge, die du zeigen musst - schaue ins
> Skript, wenn du's nicht auswendig weißt

ok, hier mein Versuch:

Also, abelsche Gruppe bedeutet a+b = b+a:
[mm] \bruch{a}{b} + \bruch{a'}{b'} = \bruch{a'}{b'} + \bruch{a}{b} [/mm] ist erfüllt.
[mm] \bruch{a}{b} + \bruch{0}{b} = \bruch{a}{b} + 0 = \bruch{a}{b} [/mm] bedeutet neutrales Element der Addition
[mm] \bruch{a}{b} * \bruch{1}{1} = \bruch{a}{b} * 1 = \bruch{a}{b} [/mm] bedeutet neutrales Element der Multiplikation

..und für einen Ring muss noch das Distibutivgesetz gelten [mm] a*(b+c) = a*b +a*c [/mm]:
[mm] \bruch{a}{b} * (\bruch{a'}{b'} + \bruch{a''}{b''}) = \bruch{aa'}{bb'} + \bruch{aa''}{bb''} [/mm]
Da zwei ungerade Zahlen miteinander multipliziert wieder eine ungerade Zahl ergeben, ist diese Bedingung erfüllt.
..und kommutativer Ring bedeutet [mm] a*b = b*a [/mm]:
[mm] \bruch{a}{b} * \bruch{a'}{b'} = \bruch{a'}{b'} * \bruch{a}{b} [/mm] ist auch erfüllt.

Ist das so ok ?

Vielen Dank und lieben Gruss, Susanne.


Bezug
                        
Bezug
kommutativer Ring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:30 So 07.10.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Susanne,

das ist zwar sehr salopp aufgeschrieben , aber ist ok [ok]



> Hallo schachuzipus,
>  vielen Dank für deine Hilfe !
>  
> > Zunächst musst du zeigen, dass (R,+) ne abelsche Gruppe
> > ist.
>  >  Das sind so einige Dinge, die du zeigen musst - schaue
> ins
> > Skript, wenn du's nicht auswendig weißt
>  
> ok, hier mein Versuch:
>  
> Also, abelsche Gruppe bedeutet a+b = b+a:

das ist bloß "abelsch", Gruppe ist der aufwendigere Teil ;-)

>  [mm]\bruch{a}{b} + \bruch{a'}{b'} = \bruch{a'}{b'} + \bruch{a}{b}[/mm]
> ist erfüllt. [ok]
>  [mm]\bruch{a}{b} + \bruch{0}{b} = \bruch{a}{b} + 0 = \bruch{a}{b}[/mm]
> bedeutet neutrales Element der Addition

also n.E bzgl. + ist [mm] 0\in [/mm] R !! (wichtig!)

was ist mit der Abgeschlossenheit? Assoziativität bzgl. +? Was ist additiv Inverses zu [mm] \frac{a}{b}? [/mm]

Ist es [mm] \in [/mm] R?

>  [mm]\bruch{a}{b} * \bruch{1}{1} = \bruch{a}{b} * 1 = \bruch{a}{b}[/mm]
> bedeutet neutrales Element der Multiplikation

... ist [mm] 1\in [/mm] R !!!

Wieder fehlt die Abgeschlossenheit von R bzg. [mm] \cdot{}! [/mm] Was ist mit der Assoziativität bzgl. [mm] \cdot{}? [/mm]


>  
> ..und für einen Ring muss noch das Distibutivgesetz gelten
> [mm]a*(b+c) = a*b +a*c [/mm]:
>  [mm]\bruch{a}{b} * (\bruch{a'}{b'} + \bruch{a''}{b''}) = \bruch{aa'}{bb'} + \bruch{aa''}{bb''}[/mm]
>  
> Da zwei ungerade Zahlen miteinander multipliziert wieder
> eine ungerade Zahl ergeben, ist diese Bedingung erfüllt.
>  ..und kommutativer Ring bedeutet [mm]a*b = b*a [/mm]:
>  [mm]\bruch{a}{b} * \bruch{a'}{b'} = \bruch{a'}{b'} * \bruch{a}{b}[/mm]
> ist auch erfüllt. [ok]
>
> Ist das so ok ?

Für ne Übung, geschweige denn ne Klausur ist das m.E. definitiv zu wenig

Aber wenn du das schriftl. noch etwas ausarbeitest, ist das schon ok

> Vielen Dank und lieben Gruss, Susanne.

Gerne

Gruß zurück

schachuzipus  


Bezug
                                
Bezug
kommutativer Ring: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:53 So 07.10.2007
Autor: SusanneK

Hallo Schachuzipus,
nochmals danke für deine schnelle und ausführliche Hilfe !

  

> also n.E bzgl. + ist [mm]0\in[/mm] R !! (wichtig!)

Da [mm] 0 \in \IZ [/mm] im Zähler und eine ungerade Zahl im Nenner immer 0 ergibt, ist 0 ein gültiges neutrales Element.

> was ist mit der Abgeschlossenheit? Assoziativität bzgl. +?

Was bedeutet das ?

> Was ist additiv Inverses zu [mm]\frac{a}{b}?[/mm]

[mm] \frac{a}{b} + \frac{-a}{b} = 0 = neutrales Element [/mm]
Da  [mm] -a \in \IZ [/mm] gibt es das neutrale Element mit [mm] \bruch{-a}{b} [/mm]

> ... ist [mm]1\in[/mm] R !!!

1 ist Element R, da [mm] \bruch{1}{1} \in R [/mm] ist
Muss ich das so ausformulieren ?

> Wieder fehlt die Abgeschlossenheit von R bzg. [mm]\cdot{}![/mm] Was
> ist mit der Assoziativität bzgl. [mm]\cdot{}?[/mm]

Da ist sie wieder, die Abgeschlossenheit ?

Nochmals vielen Dank und lieben Gruss, Susanne.


Bezug
                                        
Bezug
kommutativer Ring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 So 07.10.2007
Autor: schachuzipus

Jo hi,

nun hast du fast alle beisammen ;-)

> Hallo Schachuzipus,
>  nochmals danke für deine schnelle und ausführliche Hilfe !
>
>
> > also n.E bzgl. + ist [mm]0\in[/mm] R !! (wichtig!)
>  Da [mm]0 \in \IZ[/mm] im Zähler und eine ungerade Zahl im Nenner
> immer 0 ergibt, ist 0 ein gültiges neutrales Element.
>  
> > was ist mit der Abgeschlossenheit? Assoziativität bzgl. +?
> Was bedeutet das ?
>  
> > Was ist additiv Inverses zu [mm]\frac{a}{b}?[/mm]
>  [mm] \frac{a}{b} [/mm] + [mm] \frac{-a}{b} [/mm] = 0 = neutrales Element [ok]
> Da  [mm]-a \in \IZ[/mm] gibt es das neutrale Element mit
> [mm] \bruch{-a}{b} [/mm] [ok]
>  
> > ... ist [mm]1\in[/mm] R !!!
>  1 ist Element R, da [mm]\bruch{1}{1} \in R[/mm] ist
>  Muss ich das so ausformulieren ? [daumenhoch]
>  
> > Wieder fehlt die Abgeschlossenheit von R bzg. [mm]\cdot{}![/mm] Was
> > ist mit der Assoziativität bzgl. [mm]\cdot{}?[/mm]
>  Da ist sie wieder, die Abgeschlossenheit ?
>  
> Nochmals vielen Dank und lieben Gruss, Susanne.
>  


Abgeschlossenheit bgl. + und [mm] \cdot{} [/mm] heißt, dass du zeigen musst, dass mit zwei Elementen [mm] r_1,r_2\in [/mm] R auch [mm] r_1+r_2 [/mm] bzw. [mm] r_1\cdot{}r_2\in [/mm] R ist

Das ist wesentlich für eine Gruppe

Neutrales Element bzgl. + ist 0 [mm] \in [/mm] R [ok]

Neutrales Element bzgl. [mm] \cdot{} [/mm] ist [mm] 1\in [/mm] R [ok]

Invers zu [mm] \frac{a}{b} [/mm] bzgl. + ist [mm] \frac{-a}{b} [/mm] [ok]

Distributivgesetze hattest du schon.

Da ist doch fast alles beisammen ;-) Schön, schön

Fehlt noch ne Bemerkung zur Assoziativität bgl. + und [mm] \cdot{} [/mm]


Zeige außerdem noch die Abgeschlossenheit bzgl. + und [mm] \cdot{} [/mm] und du hast es

Gruß

schachuzipus




Bezug
                                                
Bezug
kommutativer Ring: Vielen Dank !
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:13 So 07.10.2007
Autor: SusanneK

DANKE für deine grosse Mühe !!!

LG, Susanne.

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