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| Aufgabe | | Sei R ein kommutativer Ring und [mm] a\neq [/mm] R ein Ideal. Zeigen Sie: a ist genau dann maximal, wenn es für alle [mm] g\in [/mm] R und [mm] g\notin [/mm] a ein [mm] r\in [/mm] R und ein [mm] f\in [/mm] a gibt mit rg+f=1. |
Hallo,
ich habe ein Problem mit dieser Aussage genau deshalbt, weil R hier nicht unbedingt eine 1 haben soll.
[mm] "\Leftarrow" [/mm] habe ich mal so formuliert: Sei I ein Ideal mit [mm] a\subsetneq I\subseteq [/mm] R. Dann gibt es in I ein solches [mm] g\notin [/mm] a für das es entsprechende [mm] f\in [/mm] a und [mm] r\in [/mm] R gibt mit [mm] rg+f=1\Rightarrow1\in [/mm] R und insbesondere [mm] 1\in I\Rightarrow [/mm] I=R.
[mm] "\Rightarrow" [/mm] bekomme ich nicht hin. Ich dachte daran wieder ein Ideal I zu betrachten, dass a enthält und mindestens ein g, dass nicht in a ist. Dann gilt, weil a maximal, I=R. Dann gilt auch trivialerweise a+I=R. Wenn ich jetzt wüsste, dass R eine 1 enthält, wäre ich ja eigentlich fertig, aber das ist nicht vorausgesetzt.
Gibt es Tipps dafür? Oder ist die Aussage wirklich falsch?
Wenn sie stimmt, dann würde doch daraus folgen, dass jeder kommutative Ring, der ein maximales Ideal besitzt, ein Ring mit 1 ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:17 Sa 18.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei R ein kommutativer Ring und [mm]a\neq[/mm] R ein Ideal. Zeigen
> Sie: a ist genau dann maximal, wenn es für alle [mm]g\in[/mm] R und
> [mm]g\notin[/mm] a ein [mm]r\in[/mm] R und ein [mm]f\in[/mm] a gibt mit rg+f=1.
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> Hallo,
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> ich habe ein Problem mit dieser Aussage genau deshalbt,
> weil R hier nicht unbedingt eine 1 haben soll.
In dem Fall ist die Aussage Quark. Entweder hat der Ring eine 1, oder man darf die 1 nicht benutzen.
Der Ring muss also eine Eins haben, damit die Aussage Sinn macht!
> [mm]"\Leftarrow"[/mm] habe ich mal so formuliert: Sei I ein Ideal
> mit [mm]a\subsetneq I\subseteq[/mm] R. Dann gibt es in I ein solches
> [mm]g\notin[/mm] a für das es entsprechende [mm]f\in[/mm] a und [mm]r\in[/mm] R gibt
> mit [mm]rg+f=1\Rightarrow1\in[/mm] R und insbesondere [mm]1\in I\Rightarrow[/mm]
> I=R.
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> [mm]"\Rightarrow"[/mm] bekomme ich nicht hin. Ich dachte daran
> wieder ein Ideal I zu betrachten, dass a enthält und
> mindestens ein g, dass nicht in a ist. Dann gilt, weil a
> maximal, I=R. Dann gilt auch trivialerweise a+I=R. Wenn ich
> jetzt wüsste, dass R eine 1 enthält, wäre ich ja
> eigentlich fertig, aber das ist nicht vorausgesetzt.
Nun, das muss aber vorausgesetzt werden, ansonsten ist die Aussage Quark.
> Gibt es Tipps dafür? Oder ist die Aussage wirklich
> falsch?
Die Aussage ist falsch. Nimm etwa $R = 2 [mm] \IZ$ [/mm] und $I = 4 [mm] \IZ$. [/mm] Das ist ein maximales Ideal, da $R/I$ genau zwei Elemente hat und somit hoechstens zwei Ideale (es sind sogar genau zwei), womit zwischen $R$ und $I$ hoechstens zwei Ideale liegen koennen -- $R$ und $I$ eingeschlossen. Da $R [mm] \neq [/mm] I$ liegt also nichts echt dazwischen, womit $I$ maximal ist.
Sei jetzt $g [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus [/mm] I$, etwa $g = 4 a + 2$ mit $a [mm] \in \IZ$, [/mm] und sei $r [mm] \in [/mm] R$ und $f [mm] \in [/mm] I$, etwa $r = 2 b$ und $f = 4 c$ mit $b, c [mm] \in \IZ$.
[/mm]
Dann ist $r g + f = 2 b [mm] \cdot [/mm] (4 a + 2) + 4 c = 8 a b + 4 b + 4 c = 4 (2 a b + b + c) [mm] \in [/mm] I$. Und insbesondere ist das niemals ein Einselement, da ansonsten $R = I$ sein muesste, was nicht der Fall ist.
Also ist die Aussage hier ganz offenbar nicht richtig, da $I$ maximales Ideal ist.
LG Felix
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