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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Do 06.11.2008 | | Autor: | Kocram |
| Aufgabe | | Seien A, B, X, Y Mengen und es gelte [mm] f\circ\alpha [/mm] = [mm] \beta\circ [/mm] g (da es sich um ein kommutatives Diagramm handelt). Ferner seien [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] bijektiv. Man zeige: Genau dann ist g injektiv, wenn f injektiv ist. |
Hi,
da laut Voraussetzung ja [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] bijektiv sind existiert es ein [mm] \alpha^-^1 [/mm] und ein [mm] \beta^-^1. [/mm] Daraus folgt, dass [mm] f=\beta\circ g\circ \alpha^-^1 [/mm] und [mm] g=\beta^-^1\circ f\circ\alpha.
[/mm]
Behauptung: g injektiv [mm] \gdw [/mm] f injektiv
Beweis:
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Sei g injektiv, d.h. gelte für zwei beliebige Elemente [mm] a_{1},a_{2}\in [/mm] A: [mm] g_{a_{1}} [/mm] = [mm] g_{a_{2}} \Rightarrow a_{1}=a_{2}.
[/mm]
zu zeigen: [mm] \exists x_{1},x_{2}\in [/mm] X für das gilt: [mm] f_{x_{1}} [/mm] = [mm] f_{x_{2}} \Rightarrow x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm]
Nun würde ich in [mm] g_{a_{1}} [/mm] = [mm] g_{a_{2}} \Rightarrow a_{1}=a_{2} [/mm] g durch [mm] \beta^-^1\circ f\circ\alpha [/mm] ersetzen und käme so auf: [mm] \beta^-^1\circ f\circ\alpha_{a_{1}} [/mm] = [mm] \beta^-^1\circ f\circ\alpha_{a_{2}} \Rightarrow a_{1}=a_{2}.
[/mm]
Und genau hier weiss ich auch nicht mehr weiter.
Kann ich evtl. [mm] a_{1} [/mm] = [mm] a_{2} [/mm] durch [mm] f_{x_{1}} [/mm] = [mm] f_{x_{2}} [/mm] ersetzen?
Wobei ich auch nicht wirklich weiss, was mir das bringen sollte.
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> Seien A, B, X, Y Mengen und es gelte [mm]f\circ\alpha[/mm] =
> [mm]\beta\circ[/mm] g (da es sich um ein kommutatives Diagramm
> handelt). Ferner seien [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] bijektiv. Man
> zeige: Genau dann ist g injektiv, wenn f injektiv ist.
Hallo,
Du hast in Deiner Aufgabenstellung etwas ganz Wesentliches vergessen mitzuteilen: welche Abbildung bildet eigentlich in welche Menge ab?
Das sollte man schon wissen.
Ich mach's jetzt mal so
[mm] \alpha: A\to [/mm] B
[mm] \beta: X\to [/mm] Y
g: [mm] A\to [/mm] X
f: [mm] B\to [/mm] Y
> Behauptung: g injektiv [mm]\gdw[/mm] f injektiv
en [mm] b_1, b_2 \in [/mm] B mit
[mm] f(b_1)=f(b_2)
[/mm]
Da .... , gibt es [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 \in [/mm] A mit [mm] \alpha(a_i)=b_i.
[/mm]
Also folgt
[mm] f(\alpha(a_1))=f(\alpha(a_2)),
[/mm]
und jetzt weiter unter Ausnutzung dessen, was bekannt ist (Verkettungen, Injektivität von [mm] \alpha, \beta, [/mm] g, Surj. von [mm] \alpha, \beta).
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> Beweis:
> [mm]"\Rightarrow":[/mm] Sei g injektiv, d.h. gelte für zwei
> beliebige Elemente [mm]a_{1},a_{2}\in[/mm] A: [mm]g_{a_{1}}[/mm] = [mm]g_{a_{2}} \Rightarrow a_{1}=a_{2}.[/mm]
>
> zu zeigen: [mm]\exists x_{1},x_{2}\in[/mm] X für das gilt:
> [mm]f_{x_{1}}[/mm] = [mm]f_{x_{2}} \Rightarrow x_{1}[/mm] = [mm]x_{2}[/mm]
>
> Nun würde ich in [mm]g_{a_{1}}[/mm] = [mm]g_{a_{2}} \Rightarrow a_{1}=a_{2}[/mm]
> g durch [mm]\beta^-^1\circ f\circ\alpha[/mm] ersetzen und käme so
> auf: [mm]\beta^-^1\circ f\circ\alpha_{a_{1}}[/mm] = [mm]\beta^-^1\circ f\circ\alpha_{a_{2}} \Rightarrow a_{1}=a_{2}.[/mm]
>
> Und genau hier weiss ich auch nicht mehr weiter.
>
> Kann ich evtl. [mm]a_{1}[/mm] = [mm]a_{2}[/mm] durch [mm]f_{x_{1}}[/mm] = [mm]f_{x_{2}}[/mm]
> ersetzen?
> Wobei ich auch nicht wirklich weiss, was mir das bringen
> sollte.
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